2016-上海卷理-02 填-复数

本题导读

本题考查复数的除法运算、复数的概念（虚部），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 设 $z=\frac{3+2i}{i}$，其中 $i$ 为虚数单位，则 $\text{Im }z=\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数化简：给出的 $z$ 是分式形式，需要利用分母实数化（分子分母同乘分母的共轭复数，或者这里直接乘 $-i$ 或直接分拆）将其化为 $a+bi$ 的形式。
2. 理解定义：对于复数 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，其实部 $\text{Re }z=a$，虚部 $\text{Im }z=b$。注意：虚部不带 $i$。
3. 提取结果：提取化简后 $i$ 前面的系数作为答案。

✅【答案】

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$-3$

✍【详细解析】

Abstract

解： 方法一（分母实数化）： $z=\frac{3+2i}{i}=\frac{(3+2i)(-i)}{i(-i)}=\frac{-3i-2i^2}{1}$ 由于 $i^2=-1$，则： $z=-3i+2=2-3i$

方法二（分拆法）： $z=\frac{3}{i}+\frac{2i}{i}=\frac{3i}{i^2}+2=-3i+2=2-3i$

根据复数虚部的定义，若 $z=2-3i$，则其虚部为 $-3$。

故答案为 $-3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 计算陷阱：很多同学容易把虚部写成 $-3i$，请记住：虚部是一个实数。
• 单位 $\mathbf{i}$ 的性质：熟记 $\frac{1}{i}=-i$ 可以极大提高计算速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 共轭复数：若本题要求 $\bar{z}$，则结果为 $2+3i$。
• 复数的模：若本题要求 $|z|$，则 $|z|=\sqrt{2^2+(-3{)}^2}=\sqrt{13}$。
• 变式练习：设 $z=\frac{i}{1-i}$，求 $\text{Re }z$。 （解析：$z=\frac{i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{i-1}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$，故实部为 $-\frac{1}{2}$）

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-05 填-复数
• 2017-全国卷III文-02 单-复数
• 2017-全国卷III理-02 单-复数

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