2016-上海卷理-08 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式系数的性质、二项式展开式的通项公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 在 $(\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x}{)}^n$ 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 求 $n$ 值：根据二项式系数之和公式 ${\sum }_{r=0}^n{C}_n^r=2^n$，建立方程 $2^n=256$ 解出 $n$。
2. 写通项公式：利用 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，将 $\sqrt[3]{x}$ 记为 $x^{1/3}$，$\frac{2}{x}$ 记为 $2x^{-1}$。
3. 确定常数项条件：常数项即 $x$ 的总指数为 0 的项。通过化简通项中的指数部分，令其等于 0 求出 $r$。
4. 计算数值：将求得的 $r$ 代回通项公式中的系数部分。

✅【答案】

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112

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 确定 $n$： 由题意知 $2^n=256$，因为 $2^8=256$，所以 $n=8$。

2. 写出通项公式： 二项式为 $(x^{1/3}-2x^{-1}{)}^8$，其展开式的通项为： $T_{r+1}=C_8^r(x^{1/3}{)}^{8-r}(-2x^{-1}{)}^r$ $T_{r+1}=C_8^r\cdot x^{\frac{8-r}{3}}\cdot (-2{)}^r\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}=C_8^r\cdot (-2{)}^r\cdot x^{\frac{8-r}{3}-r}$ $T_{r+1}=C_8^r\cdot (-2{)}^r\cdot x^{\frac{8-4r}{3}}$

3. 求常数项： 令 $x$ 的指数为 0，即 $\frac{8-4r}{3}=0$，解得 $r=2$。 当 $r=2$ 时，常数项为： $T_3=C_8^2\cdot (-2{)}^2=\frac{8\times 7}{2\times 1}\times 4=28\times 4=112$

故答案为 112

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 概念区分：“二项式系数”与“项的系数”不同。二项式系数仅指 $C_n^r$，而项的系数包含常数 $a,b$ 带来的数值。
• 幂运算准确性：根式与分式必须统一化为指数幂形式（$x^m$），避免在合并指数时出现计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 系数和问题：若题目要求“所有项的系数之和”，则令 $x=1$ 代入原式计算即可，即 $(1-2{)}^8=1$。
• 对称性：二项式系数 $C_8^r$ 呈现对称分布，第 5 项（$C_8^4$）的二项式系数最大。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-04 单-二项式定理
• 2017-全国卷I理-06 单-二项式定理
• 2017-浙江卷-13 填-二项式定理

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