2016-全国卷I理-01 单-集合

本题导读

本题考查集合的交集运算、一元二次不等式的解法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 设集合 $A=\{x|x^2-4x+3<0\}$，$B=\{x|2x-3>0\}$，则 $A\cap B=$ ()

A. $(-3,-\frac{3}{2})$　　　B. $(-3,\frac{3}{2})$　　　C. $(1,\frac{3}{2})$　　　D. $(\frac{3}{2},3)$

🔍【思路分析】

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1. 求解集合 A：解一元二次不等式 $x^2-4x+3<0$。通过因式分解找到根，根据“小于取中间”确定区间。
2. 求解集合 B：解一元一次不等式 $2x-3>0$。
3. 求交集：利用数轴或不等式组，找到两个集合范围的重叠部分。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 解集合 A： 由 $x^2-4x+3<0$，因式分解得 $(x-1)(x-3)<0$。 解得 $1<x<3$。 所以 $A=(1,3)$。

2. 解集合 B： 由 $2x-3>0$ 得 $2x>3⟹x>\frac{3}{2}$。 所以 $B=(\frac{3}{2},+\infty )$。

3. 求 $A\cap B$： 在数轴上表示如下： 满足条件的部分为 $\frac{3}{2}<x<3$。 即 $A\cap B=(\frac{3}{2},3)$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 基础运算：全国卷的第一题通常非常友好，旨在考查基本的不等式解法和集合概念。
• 易错点：计算不等式时要注意符号的方向；在求交集时，确保对边界值（如 $1$ 和 $\frac{3}{2}$）的大小关系判断准确。
• 此类题目建议养成画数轴的习惯，能够直观避免区间重叠部分的判断失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若题目求 $A\cup B$，结果为 $(1,+\infty )$。
2. 知识关联：一元二次不等式的解集与二次函数的图象紧密相关，理解“开口向上且小于零取两根之间”是解题关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-01 填-集合
• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-01 单-集合

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