2016-全国卷I理-14 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理、二项展开式的通项公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） $(2x+\sqrt{x}{)}^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数是 $\underline{}$.（用数字填写答案）

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：利用公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。在此题中，$n=5,a=2x,b=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$。
2. 整理合并：将常数项与含 $x$ 的项分离，合并 $x$ 的指数。
3. 确定 $r$ 值：令 $x$ 的综合指数等于 $3$，解出 $r$。
4. 计算系数：将 $r$ 代入常数部分求值。

✅【答案】

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$10$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 建立通项： $(2x+\sqrt{x}{)}^5$ 展开式的通项为： $T_{r+1}=C_5^r\cdot (2x{)}^{5-r}\cdot (\sqrt{x}{)}^r$ $T_{r+1}=C_5^r\cdot 2^{5-r}\cdot x^{5-r}\cdot x^{\frac{r}{2}}$

2. 合并指数： $T_{r+1}=C_5^r\cdot 2^{5-r}\cdot x^{5-r+\frac{r}{2}}$ $T_{r+1}=C_5^r\cdot 2^{5-r}\cdot x^{5-\frac{r}{2}}$

3. 求 $r$： 令 $5-\frac{r}{2}=3$，解得 $\frac{r}{2}=2⟹r=4$。

4. 计算系数： 将 $r=4$ 代入系数项 $C_5^r\cdot 2^{5-r}$： 系数 $=C_5^4\cdot 2^{5-4}=5\times 2^1=10$。

故答案为 $10$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 通项公式要记牢：注意 $r$ 的取值范围是 $0,1,\dots ,n$。
• 指数运算别出错：根号化为分数指数幂 $\sqrt{x}=x^{1/2}$ 是合并同类项的关键。
• 填空题只求“系数”，如果算出的 $r$ 不是整数，通常说明计算过程有误或该项不存在。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若求展开式中所有项的二项式系数之和，则为 $2^5=32$。
2. 知识关联：二项式定理常与概率论中的二项分布结合，是衔接代数与概率的重要桥梁。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-04 单-二项式定理
• 2017-全国卷I理-06 单-二项式定理
• 2017-浙江卷-13 填-二项式定理

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