2016-全国卷I理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换（两角和的正弦公式、诱导公式）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$.已知 $2\cos C(a\cos B+b\cos A)=c$.

(1)求 $C$；

(2)若 $c=\sqrt{7}$，$△ABC$ 的面积为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求 $△ABC$ 的周长.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求角）：

• 观察已知等式，括号内 $a\cos B+b\cos A$ 是典型的射影定理结构。
• 法一（几何法）：直接利用射影定理 $a\cos B+b\cos A=c$，代入即得 $2c\cos C=c$。
• 法二（正弦定理）：将边化为角，利用两角和的正弦公式化简。

2. 第二问（求周长）：

• 已知 $c$ 和 $C$，利用余弦定理建立 $a,b$ 的方程：$a^2+b^2-2ab\cos C=c^2$。
• 已知面积，利用面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 求出 $ab$ 的值。
• 目标：求 $a+b+c$。利用 $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$ 进行代数变形求解 $a+b$。

✅【答案】

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（1）𝐶=π3.（2）△𝐴𝐵𝐶的周长为5+√7.

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)方法一（边化角）：

由正弦定理得：$2\cos C(\sin A\cos B+\sin B\cos A)=\sin C$。 利用和角公式得：$2\cos C\sin (A+B)=\sin C$。 因为 $A+B=\pi -C$，所以 $\sin (A+B)=\sin C$。 又因为 $0<C<\pi$，所以 $\sin C\ne 0$。 故 $2\cos C\sin C=\sin C⟹2\cos C=1$，即 $\cos C=\frac{1}{2}$。 因为 $0<C<\pi$，所以 $C=\frac{\pi }{3}$。

方法二（射影定理）：

在 $△ABC$ 中，由射影定理知 $a\cos B+b\cos A=c$。 代入已知等式得 $2\cos C\cdot c=c$。 由于 $c\ne 0$，则 $\cos C=\frac{1}{2}$。 又 $0<C<\pi$，故 $C=\frac{\pi }{3}$。

(2)由(1)知 $C=\frac{\pi }{3}$。 由三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{3\sqrt{3}}{2}$， 得 $\frac{1}{2}ab\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}⟹ab=6$。 由余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$， 得 $7=a^2+b^2-2\cdot 6\cdot \frac{1}{2}$， 即 $7=a^2+b^2-6⟹a^2+b^2=13$。 因为 $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$， 所以 $13=(a+b{)}^2-2\cdot 6⟹(a+b{)}^2=25$。 因为 $a+b>0$，所以 $a+b=5$。 故 $△ABC$ 的周长为 $a+b+c=5+\sqrt{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 射影定理的敏锐度：在处理 $a\cos B+b\cos A$ 这种组合时，直接识别为射影定理可以极大地简化运算。
• 整体代换思想：在解三角形的综合题中，往往不需要分别求出 $a$ 和 $b$，通过 $(a+b{)}^2$ 或 $(a-b{)}^2$ 进行整体代换求周长或边长关系是常用技巧。
• 全国卷第一道解答题通常不难，但对公式准确性和计算细节要求很高。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若题目改为求 $△ABC$ 的形状，在第一问求出 $C=60^{\circ }$ 后，通常需要配合其它边角关系（如 $a=b$）来判定是否为等边三角形。
2. 知识关联：本题考查了从“角”的角度切入（第一问）和从“边”的角度深入（第二问），是解三角形问题的标准模版。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数

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