2016-全国卷II文-24 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法（分段讨论法）、不等式的证明（作差法、分析法）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 已知函数 $f(x)=|x-\frac{1}{2}|+|x+\frac{1}{2}|$，$M$ 为不等式 $f(x)<2$ 的解集.

(1)求 $M$；

(2)证明：当 $a,b\in M$ 时，$|a+b|<|1+ab|$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：

• 找出绝对值的零点：$x=\frac{1}{2}$ 和 $x=-\frac{1}{2}$。
• 将数轴分为三个区间：$(-\infty ,-\frac{1}{2})$，$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$，$(\frac{1}{2},+\infty )$。
• 分段去除绝对值符号，分别解不等式，最后取并集。
• 几何意义提示：$f(x)$ 表示数轴上的点 $x$ 到 $\frac{1}{2}$ 和 $-\frac{1}{2}$ 的距离之和。

2. 第二问思路：

• 由(1)可知 $a,b\in (-1,1)$，即 $|a|<1,|b|<1$。

• 要证 $|a+b|<|1+ab|$，由于两边均大于 0，可转化为证明 $(a+b{)}^2<(1+ab{)}^2$。

• 展开后利用作差法：$(1+ab{)}^2-(a+b{)}^2=(1-a^2)(1-b^2)$。

• 根据 $a,b$ 的范围判定正负。

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解集 $M=(-1,1)$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 当 $x<-\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=(\frac{1}{2}-x)+(-x-\frac{1}{2})=-2x$。

由 $-2x<2$ 得 $x>-1$，所以 $-1<x<-\frac{1}{2}$。

当 $-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}$ 时，$f(x)=(\frac{1}{2}-x)+(x+\frac{1}{2})=1$。

因为 $1<2$ 恒成立，所以 $-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}$。

当 $x>\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=(x-\frac{1}{2})+(x+\frac{1}{2})=2x$。

由 $2x<2$ 得 $x<1$，所以 $\frac{1}{2}<x<1$。

综上所述，解集 $M=(-1,1)$。

(2)证明： 由(1)知，$a,b\in (-1,1)$，则 $a^2<1$，$b^2<1$。

要证 $|a+b|<|1+ab|$，只需证 $(a+b{)}^2<(1+ab{)}^2$。

即证 $a^2+2ab+b^2<1+2ab+a^2{b}^2$。

只需证 $a^2+b^2-a^2{b}^2-1<0$。

整理得 $-(1-a^2)+b^2(1-a^2)<0$，

即 $(b^2-1)(1-a^2)<0$。

因为 $a^2<1,b^2<1$，所以 $1-a^2>0$ 且 $b^2-1<0$。

因此 $(b^2-1)(1-a^2)<0$ 成立。

故原不等式 $|a+b|<|1+ab|$ 得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 分段讨论法：这是解决绝对值不等式的通法。在考场上，注意端点值的归属（包含在哪个区间通常不影响最终并集结果）。

• 平方转化的条件：在不等式证明中，若两端均为正，平方是去掉绝对值或根号的常用手段。

• 因式分解技巧：$(1+ab{)}^2-(a+b{)}^2$ 转化为 $(1-a^2)(1-b^2)$ 是证明此类结构的关键，这种结构在解析几何（如双曲线离心率范围）中也时有出现。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：第(2)问平方作差后得 $(1-a^2)(1-b^2)>0$；同法可证 $\left|\frac{a+b}{1+ab}\right|<1$（$a,b\in M$ 时分母 $1+ab>0$）——同一代数式的两种形态。
2. 知识关联：“分段讨论求 M + 代数变形证不等式”是全国卷选考 24 题的标准两问结构；$(1-a^2)(1-b^2)>0$ 的因式分解是证明的核心，也是处理“元素都在 $(-1,1)$ 内”类问题的通用套路。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-01 填-集合
• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-01 单-集合

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