2016-全国卷III文-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的模、共轭复数与复数的除法运算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(文)） 若 $z=4+3\mathrm{i}$，则 $\frac{\bar{z}}{|z|}=$ ()

A. $1$　　　　　B. $-1$　　　　　C. $\frac{4}{5}+\frac{3}{5}\mathrm{i}$　　　　　D. $\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先求出复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 及模 $|z|$。
2. 将其代入分式中进行化简计算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

已知 $z=4+3\mathrm{i}$， 其共轭复数为 $\bar{z}=4-3\mathrm{i}$， 其模长为 $|z|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$。 因此： $\frac{\bar{z}}{|z|}=\frac{4-3\mathrm{i}}{5}=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\mathrm{i}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭复数、复数的模。
2. 核心方法：公式直接代入法。
3. 避坑指南：共轭复数只改变虚部符号，求模时注意平方和开根号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：复数基本运算常考题型。
2. 结论推广：对任意复数 $z$，$\frac{z}{|z|}$ 表示与 $z$ 同方向的单位复数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-05 填-复数
• 2017-全国卷III文-02 单-复数
• 2017-全国卷III理-02 单-复数

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