2016-全国卷III文-09 单-解三角形

本题导读

本题考查解三角形与三角形面积公式、正弦定理的应用，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(文)） 在 $△ABC$ 中，$B=\frac{\pi }{4}$，$BC$ 边上的高等于 $\frac{1}{3}BC$，则 $\sin A=$ ()

A. $\frac{3}{10}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　D. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

🔍【思路分析】

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1. 设 $BC=a$，根据已知条件表示出 $BC$ 边上的高 $h$。
2. 根据三角形的形状（锐角三角形或钝角三角形）进行分类讨论，利用三角函数定义结合正弦定理求出 $\sin A$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 $BC=a$，则 $BC$ 边上的高 $h=\frac{1}{3}a$。 当 $△ABC$ 为锐角三角形时： 自顶点 $A$ 向 $BC$ 作垂线交 $BC$ 于点 $D$，则高 $AD=h=\frac{1}{3}a$。 在 Rt$△ABD$ 中，因为 $\angle B=\frac{\pi }{4}$， 所以 $\sin B=\frac{AD}{AB}⟹AB=\frac{AD}{\sin (\pi /4)}=\frac{\frac{1}{3}a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}a$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$（其中 $c=AB$）： $\sin A=\frac{c\sin B}{a}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{3}a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a}=\frac{1}{3}$。 等等，重新核对几何关系： 利用面积法：$S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ah$， 即 $\frac{1}{2}ac\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}a\cdot \left(\frac{1}{3}a\right)$。 化简得 $c\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{3}a⟹c\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{3}a⟹c=\frac{2\sqrt{2}}{3}a$。 再由正弦定理 $\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$ 或利用三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ah$。 更直接地，在 Rt$△ABD$ 中，$BD=\frac{h}{\tan B}=h=\frac{1}{3}a$（当 $\angle B=45^{\circ }$ 时，$BD=AD=\frac{1}{3}a$）。

• 情形一（锐角三角形）：$DC=a-BD=a-\frac{1}{3}a=\frac{2}{3}a$。 在 Rt$△ADC$ 中，$A{C}^2=A{D}^2+D{C}^2={\left(\frac{1}{3}a\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}a\right)}^2=\frac{5}{9}{a}^2⟹b=AC=\frac{\sqrt{5}}{3}a$。 由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}$： $\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{3}a}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
• 情形二（钝角三角形）：若 $\angle C$ 为钝角，$BD=\frac{1}{3}a$，则 $DC=BD-a$ 类似可求。 对照选项，$\frac{3\sqrt{10}}{10}$ 对应选项 (D)。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解三角形、正弦定理、直角三角形边角关系。
2. 核心方法：高线分割法与勾股定理。
3. 避坑指南：注意当角 $B$ 为锐角时，三角形可能为锐角三角形也可能为钝角三角形，但若直接按常规锐角三角形列式得出结果且在选项中，即可直接确定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解三角形中的常规高线综合题。
2. 结论推广：已知三角形一边及对应高线和一角，可通过分割直角三角形求出其余各边。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数

专题合集 (Series)