2016-全国卷III理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算、共轭复数，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 若 $z=1+2i$，则 $\frac{4i}{z\cdot \bar{z}-1}=$ ()

A. $1$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $i$　　　　　　　D. $-i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定共轭复数：已知 $z=1+2i$，则其共轭复数 $\bar{z}=1-2i$。
2. 计算分母：计算 $z\cdot \bar{z}$。利用公式 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$，可得 $z\cdot \bar{z}$ 的实数值。
3. 整体化简：将分母计算结果减去 1 后，进行分式化简。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求 $z\cdot \bar{z}$： 因为 $z=1+2i$，所以 $\bar{z}=1-2i$。 则 $z\cdot \bar{z}=(1+2i)(1-2i)=1^2+2^2=1+4=5$。 （或者直接利用性质 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$）
2. 计算分母： 分母为 $z\cdot \bar{z}-1=5-1=4$。
3. 计算原式： $\frac{4i}{z\cdot \bar{z}-1}=\frac{4i}{4}=i$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心结论：复数与其共轭复数的积是一个实数，等于该复数模的平方，即 $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2=|z{|}^2$。
• 计算技巧：在处理复数分式时，先观察分母是否能化为实数，可以显著降低计算量。
• 易错提醒：注意虚数单位 $i$ 的性质 $i^2=-1$，但在计算 $(a+bi)(a-bi)$ 时结果是 $a^2+b^2$ 而不是 $a^2-b^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目要求 $\frac{4}{z+\bar{z}}$，则结果为 $\frac{4}{2}=2$。
• 知识关联：复数的运算在几何上对应向量的平移、旋转和伸缩，其中乘以 $i$ 相当于在复平面上逆时针旋转 $90^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-05 填-复数
• 2017-全国卷III文-02 单-复数
• 2017-全国卷III理-02 单-复数

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