2016-全国卷III理-24 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式与恒成立问题。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 已知函数 $f(x)=|2x-a|+a$.

(1) 当 $a=2$ 时，求不等式 $f(x)⩽6$ 的解集；

(2) 设函数 $g(x)=|2x-1|$，当 $x\in \mathbb{R}$ 时，$f(x)+g(x)⩾3$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：将 $a=2$ 代入函数，得到 $f(x)=|2x-2|+2$，将其代入不等式 $|2x-2|+2⩽6$ 化简为绝对值不等式，利用绝对值性质直接求解集。
2. 第 (2) 问：代入 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的表达式，转化为 $|2x-a|+|2x-1|\ge 3-a$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒成立；利用绝对值三角不等式的几何意义求出左侧式子的最小值，从而建立关于 $a$ 的不等式求解。

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$a$ 的取值范围是 $[2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a=2$ 时，函数 $f(x)=|2x-2|+2$。 不等式 $f(x)⩽6$ 即为： $|2x-2|+2⩽6⟹|2x-2|⩽4$。 根据绝对值不等式性质可得： $-4⩽2x-2⩽4$ 两边同时加 2： $-2⩽2x⩽6$ 两边同时除以 2： $-1⩽x⩽3$。 因此，不等式的解集为 $[-1,3]$（或写成 $\{x\mid -1⩽x⩽3\}$）。

(2) 当 $x\in \mathbb{R}$ 时，$f(x)+g(x)⩾3$ 恒成立， 即 $|2x-a|+a+|2x-1|\ge 3$， 亦即 $|2x-a|+|2x-1|\ge 3-a$ 恒成立。 根据绝对值三角不等式的性质： $|\alpha -\beta |\le |\alpha |+|\beta |$，特别地，有： $|2x-a|+|1-2x|\ge |(2x-a)-(1-2x)|$ 需注意符号， 利用几何意义：左式 $|2x-a|+|2x-1|$ 表示数轴上的点 $x$ 到 $\frac{a}{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 的距离之和。 其最小值为两点之间的距离，即 $\left|\frac{a}{2}-\frac{1}{2}\right|\times 2=|a-1|$。 所以，不等式在 $\mathbb{R}$ 上恒成立等价于左侧的最小值大于等于右侧： $|a-1|\ge 3-a$。 分情况讨论去绝对值：

• 当 $a\ge 1$ 时： $a-1\ge 3-a⟹2a\ge 4⟹a\ge 2$。 结合 $a\ge 1$ 得 $a\ge 2$。
• 当 $a<1$ 时： $-(a-1)\ge 3-a⟹-a+1\ge 3-a⟹1\ge 3$（无解）。 综上所述，$a$ 的取值范围是 $[2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式、绝对值三角不等式 $|a|+|b|\ge |a-b|$ 的应用。
2. 核心方法：利用距离之和的最小值求参数范围。
3. 避坑指南：第 (2) 问中注意绝对值不等式恒成立时，必须保证左侧的最小值大于或等于右侧的最大值（或定值），分类讨论去绝对值时勿漏掉边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数学选考题（不等式选讲）中的经典题型。
2. 结论推广：形如 $|x-a|+|x-b|\ge m$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒成立，只需 $m\le |a-b|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数

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