2016-北京卷理-10 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理、二项展开式的通项公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 在 $(1-2x{)}^6$ 的展开式中，$x^2$ 的系数为 $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：二项式 $(a+b{)}^n$ 展开式的通项为 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 代入参数：在本题中，$a=1,b=-2x,n=6$。
3. 确定 $r$ 的值：由于需要求 $x^2$ 的系数，令 $x$ 的指数为 $2$，从而求出 $r$。
4. 计算系数：将 $r$ 代入通项公式，分离出常数部分进行计算。

✅【答案】

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60

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据二项展开式的通项公式，$(1-2x{)}^6$ 展开式的通项为： $T_{r+1}=C_6^r\cdot 1^{6-r}\cdot (-2x{)}^r=C_6^r\cdot (-2{)}^r\cdot x^r$

令 $r=2$，则 $x^2$ 的系数为： $C_6^2\cdot (-2{)}^2$ 计算组合数：$C_6^2=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$ 计算幂：$(-2{)}^2=4$ 乘积为：$15\times 4=60$。

故答案为 60

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 符号问题：这是此类题目最易错的地方。注意二项式中的 $b$ 项是 $-2x$，其中的负号必须参与幂运算。
• 系数 vs 二项式系数：

• 二项式系数仅指 $C_n^r$，本题中为 $C_6^2=15$。
• 系数指项中变量以外的所有常数部分，本题中为 $C_6^2\cdot (-2{)}^2=60$。

• 对于 $(1+kx{)}^n$ 形式的展开式，$x^r$ 的系数直接就是 $C_n^r\cdot k^r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：求该展开式中所有项的系数之和？（令 $x=1$，得 $(1-2{)}^6=1$）。
2. 知识关联：二项式定理是概率统计中二项分布的基础，也是高等数学中泰勒级数展开的特例。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-04 单-二项式定理
• 2017-全国卷I理-06 单-二项式定理
• 2017-浙江卷-13 填-二项式定理

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