2016-四川卷理-02 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理（通项公式）、复数的幂运算（虚数单位 i 的性质），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 设 $i$ 为虚数单位，则 $(x+i{)}^6$ 的展开式中含 $x^4$ 的项为 ()

A. $-15x^4$　　　　　B. $15x^4$　　　　　C. $-20i{x}^4$　　　　　D. $20i{x}^4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用通项公式：二项展开式 $(a+b{)}^n$ 的通项公式为 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 锁定目标项：令 $a=x,b=i,n=6$。我们需要含 $x^4$ 的项，即令 $x$ 的指数 $6-r=4$，求出 $r$。
3. 计算数值：将 $r$ 代入通项公式，并注意虚数单位的性质 $i^2=-1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 写出通项公式： $(x+i{)}^6$ 展开式的通项为 $T_{r+1}=C_6^r{x}^{6-r}{i}^r$。
2. 确定 $r$ 的值： 令 $6-r=4$，得 $r=2$。
3. 计算该项： 当 $r=2$ 时，该项为 $T_3=C_6^2{x}^4{i}^2$。 根据组合数计算：$C_6^2=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$。 根据虚数单位性质：$i^2=-1$。 故该项为 $15\cdot x^4\cdot (-1)=-15x^4$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 项与系数的定义：题目要求的是“项”，必须包含变量 $x^4$；若要求的是“二项式系数”，则为 $C_6^2=15$；若要求“系数”，则为 $-15$。
• i 的周期性：虚数单位 $i$ 的幂具有周期性（$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$）。本题 $r=2$ 较为简单，若 $r$ 较大需注意转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目要求展开式中的实部之和，可以利用赋值法，令 $x=1$ 计算 $(1+i{)}^6$ 的实部。
• 易错警示：在使用通项公式时，注意 $a$ 和 $b$ 的顺序。若将原式看作 $(i+x{)}^6$，则 $T_{r+1}=C_6^r{i}^{6-r}{x}^r$，求 $x^4$ 则需令 $r=4$，计算结果 $C_6^4{i}^{6-4}{x}^4=15\cdot i^2\cdot x^4=-15x^4$，结果一致，但过程需严谨。
• 关联考点：本题可与复数的模、复平面的概念结合。例如：该项的系数在复平面内对应的点位于负实轴上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-05 填-复数
• 2017-全国卷III文-02 单-复数
• 2017-全国卷III理-02 单-复数

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