2016-天津卷理-10 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理、二项展开式的通项公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） $(x^2-\frac{1}{x}{)}^8$ 的展开式中 $x^7$ 的系数为 $\underline{}$（用数字作答）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定通项公式：利用二项展开式通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 写出该展开式的通项。
2. 化简指数形式：将通项公式中的 $x$ 合并，整理成 $C_n^r\cdot (\text{常数})\cdot x^{f(r)}$ 的形式。
3. 建立方程求解：令 $x$ 的指数 $f(r)=7$，求出 $r$ 的值。
4. 计算系数：将 $r$ 代入系数部分进行数值计算。

✅【答案】

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$-56$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 写出通项公式： 对于 $(x^2-\frac{1}{x}{)}^8$，其展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_8^r(x^2{)}^{8-r}(-\frac{1}{x}{)}^r$

2. 化简通项： $T_{r+1}=C_8^r\cdot x^{16-2r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}=(-1{)}^r{C}_8^r\cdot x^{16-3r}$

3. 求 $r$ 的值： 令 $x$ 的指数为 $7$，得： $16-3r=7$ $3r=9$ 解得：$r=3$。

4. 计算系数： 当 $r=3$ 时，系数为： $(-1{)}^3{C}_8^3=-1\times \frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=-56$

最终答案为：-56

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 通项公式记忆：准确记忆 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 是解题前提，注意是第 $r+1$ 项。
• 符号处理：展开式中带有负号时（如本题的 $-\frac{1}{x}$），建议将 $(-1{)}^r$ 分离出来单独处理，避免计算系数时漏掉正负号。
• 指数运算：合并 $x$ 的幂次时需熟练掌握幂的乘方与同底数幂相除的法则。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若要求展开式中的“常数项”，则令 $16-3r=0$。由于本题中 $r$ 必须为整数，若解得 $r$ 不是整数，则说明展开式中不含常数项。
• 常用结论：二项式系数 $C_n^r$ 与项的系数不同。项的系数需包含二项式系数以及项内常数因子的乘积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-04 单-二项式定理
• 2017-全国卷I理-06 单-二项式定理
• 2017-浙江卷-13 填-二项式定理

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