2016-山东卷文-16 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型与列举法、互斥事件与概率计算。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 $x,y$.奖励规则如下： ① 若 $xy⩽3$，则奖励玩具一个； ② 若 $xy⩾8$，则奖励水杯一个； ③ 其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.

(1) 求小亮获得玩具的概率；

(2) 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 首先观察转盘：转盘被均匀划分为 4 个区域，区域中的数分别为 $1,2,3,4$（根据图示）。每次转动记录的数 $x\in \{1,2,3,4\}$，第二次 $y\in \{1,2,3,4\}$。
2. 利用列表法或树状图列出所有可能的有序数对 $(x,y)$ 作为样本空间，总共有 $4\times 4=16$ 种结果。
3. 第 (1) 问：统计满足 $xy\le 3$ 的样本点个数，计算获得玩具的概率。
4. 第 (2) 问：分别统计满足 $xy\ge 8$（水杯）和其余情况（饮料）的样本点个数，计算各自概率并进行大小比较。

✅【答案】

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第（1）问为516；第（2）问获得水杯的概率为38，获得饮料的概率为5

✍【详细解析】

Abstract

转盘质地均匀，四个区域划分均匀，每次记录的数 $x,y\in \{1,2,3,4\}$。 总的样本空间包含的样本点总数为： $n=4\times 4=16$ 种。 所有可能的结果 $(x,y)$ 列表如下：

• $x=1$ 时：$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)$
• $x=2$ 时：$(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)$
• $x=3$ 时：$(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)$
• $x=4$ 时：$(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)$

(1) 求小亮获得玩具的概率： 获得玩具的条件是 $xy⩽3$。 满足条件的样本点有： $(1,1)⟹xy=1\le 3$ $(1,2)⟹xy=2\le 3$ $(1,3)⟹xy=3\le 3$ $(1,4)⟹xy=4>3$ $(2,1)⟹xy=2\le 3$ $(2,2)⟹xy=4>3$ $(3,1)⟹xy=3\le 3$ 共计 5 个样本点：$(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)$。 故小亮获得玩具的概率为： $P_1=\frac{5}{16}$。

(2) 比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小：

• 获得水杯的条件是 $xy\ge 8$。 满足条件的样本点有： $(2,4)⟹xy=8\ge 8$ $(4,2)⟹xy=8\ge 8$ $(3,3)⟹xy=9\ge 8$ $(3,4)⟹xy=12\ge 8$ $(4,3)⟹xy=12\ge 8$ $(4,4)⟹xy=16\ge 8$ 共计 6 个样本点：$(2,4),(4,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)$。 故获得水杯的概率为 $P_2=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
• 获得饮料的条件是其余情况（即 $3<xy<8$）。 总样本点 16 个，玩具占 5 个，水杯占 6 个， 故饮料的样本点个数为 $16-5-6=5$ 个。 获得饮料的概率为 $P_3=\frac{5}{16}$。 比较可知： $P_2=\frac{3}{8}=\frac{6}{16}$，$P_3=\frac{5}{16}$。 因为 $P_2>P_3$， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型、列表法、不等式区域计数。
2. 核心方法：样本空间穷举与频数统计法。
3. 避坑指南：列举有序数对 $(x,y)$ 时要做到不重不漏，乘积计算时区分好界限（如 $\le 3$ 与 $<8$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：全国各省高考数学概率解答题的经典题型。
2. 结论推广：双次独立重复试验或不放回抽样试验均可通过列表法或树状图准确罗列样本空间。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-18 解-频率估计概率
• 2017-全国卷II文-11 单-古典概型
• 2017-北京卷理-17 解-古典概型

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