2016-浙江卷理-16 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换（两角和公式、二倍角公式）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $b+c=2a\cos B$.

(1)证明：$A=2B$；

(2)若 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{a^2}{4}$，求角 $A$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明 $A=2B$）：

• 切入点：已知式子包含边和角的混合，首选正弦定理进行“边化角”。
• 转化逻辑：将 $b,c,a$ 替换为 $\sin B,\sin C,\sin A$。利用 $C=\pi -(A+B)$ 将 $\sin C$ 展开，通过合并同类项寻找 $\sin A$ 与 $B$ 的关系。

2. 第二问（求角 $A$）：

• 条件提取：面积 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{a^2}{4}$。
• 联立结论：利用第一问的 $A=2B$ 以及正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$。
• 化简方向：将所有的边和角都转化为关于 $B$ 和 $C$ 的正弦式子，化简出 $\sin C$ 与 $\cos B$ 的等量关系，注意分类讨论钝角三角形的情况。

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角 $A$ 的大小为 $90^{\circ }$ 或 $45^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明：

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，已知 $b+c=2a\cos B$ 可化为： $\sin B+\sin C=2\sin A\cos B$ 在 $△ABC$ 中，$C=\pi -(A+B)$，故 $\sin C=\sin (A+B)$。代入上式： $\sin B+\sin (A+B)=2\sin A\cos B$ 利用两角和的正弦公式展开： $\sin B+\sin A\cos B+\cos A\sin B=2\sin A\cos B$ 移项合并同类项： $\sin B+\cos A\sin B=\sin A\cos B$ $\sin B(1+\cos A)=\sin A\cos B$ 利用二倍角公式 $1+\cos A=2{\cos }^2\frac{A}{2}$ 且 $\sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}$： $\sin B\cdot 2{\cos }^2\frac{A}{2}=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\cos B$ 因为 $A,B\in (0,\pi )$，故 $\cos \frac{A}{2}\ne 0$，约去 $2\cos \frac{A}{2}$ 得： $\sin B\cos \frac{A}{2}=\sin \frac{A}{2}\cos B$ 即 $\sin (B-\frac{A}{2})=0$。 由于 $A,B$ 是三角形内角，$-\frac{\pi }{2}<B-\frac{A}{2}<\pi$，故只能有 $B-\frac{A}{2}=0$。 所以 $A=2B$。

(2)解：

由 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{a^2}{4}$ 得： $2bc\sin A=a^2$ 由正弦定理得：$2\sin B\sin C\sin A={\sin }^{2}A$。 由于 $\sin A\ne 0$，得 $2\sin B\sin C=\sin A$。 由(1)知 $A=2B$，代入上式得： $2\sin B\sin C=\sin 2B=2\sin B\cos B$ 因为 $\sin B\ne 0$，得 $\sin C=\cos B$。 由于 $\cos B=\sin (\frac{\pi }{2}-B)$，则： $\sin C=\sin (\frac{\pi }{2}-B)$。 在三角形中，由上式可得：

1. $C=\frac{\pi }{2}-B⟹B+C=\frac{\pi }{2}$。此时 $A=\pi -(B+C)=\frac{\pi }{2}=90^{\circ }$。
2. $C=\pi -(\frac{\pi }{2}-B)=\frac{\pi }{2}+B⟹C-B=\frac{\pi }{2}$。 代入 $A+B+C=\pi$ 及 $A=2B$ 得：$2B+B+(\frac{\pi }{2}+B)=\pi$， 解得 $4B=\frac{\pi }{2}⟹B=\frac{\pi }{8}$。此时 $A=2B=\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$。

综上所述，角 $A$ 的大小为 $90^{\circ }$ 或 $45^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 边角转化的选择：如果式子中出现 $a^2$ 或 $\cos B$ 较多，余弦定理往往更直接；如果式子是边的一次方关系（如本题 $b+c$），正弦定理通常能更有效地降幂并利用三角恒等式。
• 二倍角公式的逆向应用：在第一问中，处理 $\sin B+\sin (A+B)$ 也可以使用和差化积公式，但利用展开合并更为稳健。
• 解的完整性：在第二问中，$\sin C=\cos B$ 容易漏掉钝角的情况（即 $C=B+90^{\circ }$），这是解三角形题目中的高频失分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目给定的是 $b^2+c^2-a^2=bc$，你能直接得出角 $A$ 吗？
  • 提示：利用余弦定理可知 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$，即 $A=60^{\circ }$。
• 常用结论：在 $△ABC$ 中，$\sin C=\cos B$ 等价于 $△ABC$ 是直角三角形（$B+C=90^{\circ }$）或其中一个角比另一个角大 $90^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数

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