2017-全国卷I文-03 单-复数

本题导读

考查复数的基本运算以及纯虚数的定义与判定。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 下列各式的运算结果为纯虚数的是 ()

A. $i(1+i{)}^2$　　B. $i^2(1-i)$　　C. $(1+i{)}^2$　　D. $i(1+i)$

🔍【思路分析】

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1. 纯虚数的定义：实部为 0 且虚部不为 0 的复数。
2. 依次计算四个选项中复数的化简结果，判断其是否为纯虚数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

逐一计算各项： (A) $i(1+i{)}^2=i(1+2i+i^2)=i(1+2i-1)=i(2i)=2i^2=-2$，其实部为 $-2$，虚部为 0，是实数，错误； (B) $i^2(1-i)=-1(1-i)=-1+i$，其实部为 $-1$，虚部为 1，是复数但不是纯虚数，错误； (C) $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$，其实部为 0，虚部为 2（不为 0），是纯虚数，正确； (D) $i(1+i)=i+i^2=-1+i$，其实部为 $-1$，虚部为 1，不是纯虚数，错误。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数乘方、纯虚数概念。
2. 核心方法：展开化简法。
3. 避坑指南：注意 $i^2=-1$，纯虚数要求实部等于 0 且虚部不等于 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考复数概念与运算常考题。
2. 结论推广: 复数 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbf{R}$) 为纯虚数的条件是 $a=0$ 且 $b\ne 0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-02 单-复数
• 2014-湖南卷文-11 填-复数
• 2014-福建卷文-02 单-复数