2017-全国卷II理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及共轭复数的定义与性质。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） $\frac{3+i}{1+i}=$ ()

A. $1+2i$　　　　　　B. $1-2i$　　　　　　C. $2+i$　　　　　　D. $2-i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别题型：本题属于复数代数形式的除法运算。
2. 核心逻辑：复数除法的本质是“分母实数化”。
3. 操作步骤：

• 确定分母的共轭复数：分母为 $1+i$，其共轭复数为 $1-i$。
• 分子分母同乘：利用 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ 将分母变为实数。
• 展开化简：展开分子并合并同类项（注意 $i^2=-1$）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据复数除法法则，分子与分母同乘以分母的共轭复数 $1-i$： $\frac{3+i}{1+i}=\frac{(3+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$ 展开计算： $=\frac{3-3i+i-i^2}{1^2-i^2}$ 代入 $i^2=-1$： $=\frac{3-2i+1}{1+1}=\frac{4-2i}{2}$ 约分化简： $=2-i$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 共轭复数：复数 $z=a+bi$ 的共轭复数为 $\bar{z}=a-bi$。
• 重要结论：$z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=a^2+b^2$。在考试中直接应用此结论可跳过分母展开步骤，提高计算速度。
• 易错点：分子展开时常在 $i^2$ 的符号转换上出错，务必牢记 $i^2=-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 复数的几何意义： 复数 $z=x+yi$ 对应复平面内的点 $(x,y)$。本题的计算结果 $2-i$ 对应复平面第四象限的点 $(2,-1)$。

2. 模的运算性质： 若题目要求求 $|\frac{3+i}{1+i}|$，除了算出结果再求模外，也可以利用性质 $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$。 $|\frac{3+i}{1+i}|=\frac{\sqrt{3^2+1^2}}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}$。

3. 常见特殊复数的倒数：

• $\frac{1}{i}=-i$
• $\frac{1+i}{1-i}=i$
• $\frac{1-i}{1+i}=-i$ 熟记这些常用结论有助于在更复杂的题目中快速化简。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-02 单-复数
• 2014-湖南卷文-11 填-复数
• 2014-福建卷文-02 单-复数