2017-全国卷II理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于等价转化法、方程思想的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） $\Delta ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $\sin (A+C)=8{\sin }^2\frac{B}{2}$.

(1)求 $\cos B$；

(2)若 $a+c=6$，$\Delta ABC$ 的面积为 $2$，求 $b$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求余弦值）：

• 诱导公式：利用 $A+B+C=\pi$，将 $\sin (A+C)$ 转化为 $\sin B$。
• 二倍角/降幂公式：将 $8{\sin }^2\frac{B}{2}$ 转化为包含 $\cos B$ 的形式（利用 $\cos B=1-2{\sin }^2\frac{B}{2}$）。
• 建立方程：得到关于 $\sin B$ 和 $\cos B$ 的方程，结合 ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$ 求解。

2. 第二问（求边长）：

• 面积公式：利用 $S=\frac{1}{2}ac\sin B=2$ 求出 $ac$ 的值。
• 余弦定理：利用 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。
• 代数变形：已知 $a+c$，利用 $a^2+c^2=(a+c{)}^2-2ac$ 进行整体代换。

✅【答案】

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(1) $\cos B=\frac{15}{17}$

(2) $b=2$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 因为 $A+B+C=\pi$，所以 $A+C=\pi -B$。 则 $\sin (A+C)=\sin (\pi -B)=\sin B$。 又由二倍角公式知：$8{\sin }^2\frac{B}{2}=4(1-\cos B)$。 故原式可化为：$\sin B=4-4\cos B$。 即 $\sin B+4\cos B=4$。 两边平方得：${\sin }^{2}B=(4-4\cos B{)}^2$ $1-{\cos }^{2}B=16-32\cos B+16{\cos }^{2}B$ 整理得：$17{\cos }^{2}B-32\cos B+15=0$ 因式分解得：$(17\cos B-15)(\cos B-1)=0$ 解得 $\cos B=\frac{15}{17}$ 或 $\cos B=1$（舍去，因为 $B$ 为三角形内角，$\cos B<1$）。 所以 $\cos B=\frac{15}{17}$。

(2)解： 由(1)知 $\cos B=\frac{15}{17}$，则 $\sin B=\sqrt{1-(\frac{15}{17}{)}^2}=\frac{8}{17}$。 因为 $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=2$， 所以 $\frac{1}{2}\cdot ac\cdot \frac{8}{17}=2$，解得 $ac=\frac{17}{2}$。 已知 $a+c=6$，根据余弦定理： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ $b^2=(a+c{)}^2-2ac-2ac\cos B$ 代入数据： $b^2=6^2-2\cdot \frac{17}{2}-2\cdot \frac{17}{2}\cdot \frac{15}{17}$ $b^2=36-17-15$ $b^2=4$ 因为 $b>0$，所以 $b=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 恒等变换的指向性：看到 ${\sin }^2\frac{B}{2}$ 应当条件反射地联想到余弦的降幂公式。
• 方程组思想：解三角形往往是几何公式与代数方程的结合，利用 $(a+c)$ 和 $ac$ 构建完全平方式是高考中的高频考点。
• 解的选择：在求出多个三角函数值时，务必根据三角形内角的范围（如 $\sin B>0$，$0<B<\pi$）进行排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2013-新课标I卷文-10 单-解三角形
• 2014-北京卷文-12 填-解三角形