2018-全国卷I文-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的模。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）设 $z=\frac{1-i}{1+i}+2i$, 则 $|z|=$ ()

A. $0$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 先对分式 $\frac{1-i}{1+i}$ 进行分母实数化化简。
2. 将化简后的复数与 $2i$ 相加得到复数 $z$ 的标准形式 $a+bi$。
3. 利用复数的模长公式 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 计算最终结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

先化简第一项： $\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-2i+i^2}{1^2-i^2}=\frac{-2i}{2}=-i$ 代入 $z$ 的表达式： $z=-i+2i=i$ 计算其模长： $|z|=|i|=\sqrt{0^2+1^2}=1$ 故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法化简、复数求模。
2. 核心方法：先化简后求模。
3. 避坑指南：熟记常用结论 $\frac{1-i}{1+i}=-i$，可以大幅简化计算过程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考复数板块常考运算题。
2. 结论推广: 若复数化简后纯虚数 $bi$，其模长为 $|b|$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2014-山东卷理-01 单-复数的相等与共轭
• 2014-江苏卷-02 填-复数运算