2018-全国卷I文-04 单-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及椭圆的离心率。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1$ 的一个焦点为 $(2,0)$, 则 $C$ 的离心率为 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据椭圆方程形式及焦点坐标 $(2,0)$ 可知焦点在 $x$ 轴上，且 $c=2$，$b^2=4$。
2. 利用椭圆中的基本关系式 $c^2=a^2-b^2$ 求出 $a^2$。
3. 利用离心率公式 $e=\frac{c}{a}$ 计算出结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1$ 知，焦点在 $x$ 轴上，且 $b^2=4$。 因为焦点坐标为 $(2,0)$，所以半焦距 $c=2$。 由 $c^2=a^2-b^2$ 得： $2^2=a^2-4⟹4=a^2-4⟹a^2=8⟹a=2\sqrt{2}$ 椭圆的离心率为： $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆 $a,b,c$ 的关系、离心率公式。
2. 核心方法：方程求解法。
3. 避坑指南：注意辨别椭圆焦点是在 $x$ 轴还是 $y$ 轴上，防止 $a,b$ 位置混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线基础考查题。
2. 结论推广: 椭圆离心率的取值范围为 $(0,1)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-12 填-椭圆方程与性质
• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义