2010-山东卷文-01 单-补集运算

本题导读

考查补集。$M=\{x\mid -2⩽x⩽2\}$，故 ${\complement }_{\mathbf{R}}M=\{x\mid x<-2\text{或}x>2\}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 已知全集 $U=\mathbf{R}$，集合 $M=\{x\mid x^2-4⩽0\}$，则 ${\complement }_{U}M$ 等于()

A. $\{x\mid -2<x<2\}$　　B. $\{x\mid -2⩽x⩽2\}$　　C. $\{x\mid x<-2\text{或}x>2\}$　　D. $\{x\mid x⩽-2\text{或}x⩾2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x^2-4⩽0⟺x^2⩽4⟺-2⩽x⩽2$，故 $M=[-2,2]$。
2. 全集 $U=\mathbf{R}$，补集 ${\complement }_{U}M=(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$。
3. 即 $\{x\mid x<-2\text{或}x>2\}$，注意端点 $-2$、$2$ 属于 $M$，补集中不取等号。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^2-4⩽0$，即 $x^2⩽4$，得 $-2⩽x⩽2$，故 $M=\{x\mid -2⩽x⩽2\}.$ 全集 $U=\mathbf{R}$，所以 $M$ 的补集为 ${\complement }_{U}M=\{x\mid x<-2\text{或}x>2\}.$ 端点 $-2$、$2$ 都在 $M$ 内，故补集中取开区间. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的补集

核心方法：解 $x^2-4⩽0$ 得 $M=[-2,2]$，再在全集 $\mathbf{R}$ 上取补

避坑指南：端点 $-2$、$2$ 属于 $M$，故补集中取开区间；"$⩽$"对应闭区间，补集必为开区间，别把端点带进补集。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：补集是集合运算的第一块敲门砖，常与一元二次不等式绑定。

结论推广：$x^2⩽a^2⟺-a⩽x⩽a$，其补集 $(-\infty ,-a)\cup (a,+\infty )$ 是通用结论。

方法推广：先画数轴标出原集合再”翻面”取补，比记忆口诀更不易错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-01 单-集合交集
• 2011-江苏卷-01 填-集合交集运算
• 2012-北京卷文-01 单-不等式与交集
• 2013-山东卷文-02 单-集合补集交集