2018-全国卷I理-12 单-正方体性质

本题导读

本题考查正方体的几何性质。核心在于空间想象法、模型构造法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 $\alpha$ 所成的角都相等，则 $\alpha$ 截此正方体所得截面面积的最大值为()

A. $\frac{3\sqrt{3}}{4}$　　　　　　B. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{2}}{4}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 线面角相等的转化： 正方体有 12 条棱，分为三组平行线（$x,y,z$ 方向）。若直线与平面所成角相等，则平面的法向量 $\vec{n}=(n_1,n_2,n_3)$ 与三组棱方向向量 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ 的夹角余角相等。 这意味着 $|n_1|=|n_2|=|n_3|$。即平面 $\alpha$ 的法向量必平行于正方体的某条体对角线。
2. 确定截面性质： 当平面垂直于体对角线（如 $A{C}_1$）时，平面与正方体的各棱成角均相等。随着平面沿体对角线方向平移，截面形状会从点变为三角形，再变为六边形，最后回到点。
3. 寻找最大面积： 当平面经过正方体中心（即体对角线中点）时，截面是一个正六边形。 该正六边形的顶点分布在六条棱的中点上。
4. 计算面积：

• 正六边形的边长 $a^{\prime }$ 等于面对角线的一半，即 $a^{\prime }=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
• 正六边形可看作 6 个边长为 $a^{\prime }$ 的等边三角形组成。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 定位平面方向： 设平面的法向量为 $\vec{n}=(l,m,n)$。正方体三组棱的方向向量分别为 $\vec{i}=(1,0,0),\vec{j}=(0,1,0),\vec{k}=(0,0,1)$。 由于每条棱与平面 $\alpha$ 所成角相等，则法向量与各棱方向向量的夹角的余弦值的绝对值相等： $|\cos ⟨\vec{n},\vec{i}⟩|=|\cos ⟨\vec{n},\vec{j}⟩|=|\cos ⟨\vec{n},\vec{k}⟩|$ 即 $\frac{|l|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}=\frac{|m|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}=\frac{|n|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}⟹|l|=|m|=|n|$。 取 $\vec{n}=(1,1,1)$，这说明平面 $\alpha$ 垂直于正方体的体对角线。

2. 构造最大截面： 当平面 $\alpha$ 垂直于体对角线并经过正方体中心时，它与正方体的六条棱相交于中点。

这六个中点分别为：$(\frac{1}{2},0,1),(0,\frac{1}{2},1),(0,1,\frac{1}{2}),(\frac{1}{2},1,0),(1,\frac{1}{2},0),(1,0,\frac{1}{2})$。 相邻两点间的距离（即正六边形的边长 $a$）为： $a=\sqrt{(\frac{1}{2}-0{)}^2+(0-\frac{1}{2}{)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

3. 计算面积： 正六边形的面积 $S=6\times \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$。 代入 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$： $S=6\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times (\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2=6\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 模型化思维：正方体中垂直于体对角线的截面动态变化模型是立体几何的高级模型。建议在 Obsidian 中标记为“体对角线截面模型”。
2. 对称性应用：由于正方体的高度对称性，满足条件的平面不止一个（对应 4 条体对角线），但截出的最大面积完全相同。
3. 计算技巧：记住边长为 $a$ 的正六边形面积公式 $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下截面结论：

• 过三条棱中点：等边三角形。
• 过体对角线中点且垂直于它：正六边形（面积最大）。
• 平行于一组对棱：长方形或正方形。
• 过三个顶点：等边三角形（面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{2}$，小于本题的正六边形）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-16 解-正方体线面角
• 2008-江苏卷-22 解-正方体向量夹角
• 2010-大纲卷I文-09 单-正方体线面角