2018-全国卷II文-07 单-余弦定理

本题导读

本题考查余弦定理，以及二倍角公式与半角公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II文）在 $△ABC$ 中，$\cos \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$, $BC=1,AC=5$, 则 $AB=$ ()

A. $4\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{30}$　　　　　　　C. $\sqrt{29}$　　　　　　　D. $2\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用三角函数的二倍角公式（或余弦的二倍角公式 $\cos C=2{\cos }^2\frac{C}{2}-1$）求出 $\cos C$ 的值。
2. 在 $△ABC$ 中，已知两边 $BC,AC$ 及其夹角 $C$，直接利用余弦定理求出边 $AB$（即 $c$）。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由二倍角公式可得： $\cos C=2{\cos }^2\frac{C}{2}-1=2{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2-1=2\times \frac{1}{5}-1=\frac{2}{5}-1=-\frac{3}{5}$ 在 $△ABC$ 中，$a=BC=1$, $b=AC=5$，由余弦定理： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ $A{B}^2=1^2+5^2-2\times 1\times 5\times \left(-\frac{3}{5}\right)=1+25+6=32$ 故 $AB=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。 故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理、二倍角公式。
2. 核心方法：先求余弦值再代入定理。
3. 避坑指南：半角余弦转化为整倍角余弦时，准确运用 $\cos C=2{\cos }^2\frac{C}{2}-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解三角形常考题。
2. 结论推广: 三角形中已知半角的三角函数时，常通过二倍角公式过渡到对应角的三角函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2013-新课标I卷文-10 单-解三角形
• 2013-福建卷理-13 填-余弦定理