2018-全国卷II文-11 单-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的定义与几何性质，以及勾股定理与离心率。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II文）已知 $F_1,F_2$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，$P$ 是 $C$ 上的一点，若 $P{F}_1\perp P{F}_2$, 且 $\angle P{F}_2{F}_1=60^{\circ }$, 则 $C$ 的离心率为 ()

A. $1-\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　B. $2-\sqrt{3}$　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$　　　　　D. $\sqrt{3}-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在 Rt$△P{F}_1{F}_2$ 中结合锐角三角函数用同一未知数表示边长 $P{F}_1$ 与 $P{F}_2$。
2. 利用勾股定理表示焦距 $2c$，再结合椭圆定义 $2a=P{F}_1+P{F}_2$ 求出离心率 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

在 Rt$△P{F}_1{F}_2$ 中，$P{F}_1\perp P{F}_2$，$\angle P{F}_2{F}_1=60^{\circ }$， 设 $P{F}_2=x$，则 $P{F}_1=x\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}x$。 焦距 $2c=F_1{F}_2=\sqrt{P{F}_1^2+P{F}_2^2}=\sqrt{(\sqrt{3}x{)}^2+x^2}=2x⟹c=x$。 由椭圆定义： $2a=P{F}_1+P{F}_2=\sqrt{3}x+x=(\sqrt{3}+1)x$ 离心率为： $e=\frac{c}{a}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}x}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$ 故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆定义、离心率公式。
2. 核心方法：设元代数法。
3. 避坑指南：熟练掌握三角函数在直角三角形中的边角关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线几何性质常考题。
2. 结论推广: 椭圆焦点三角形中若含有直角，常结合勾股定理与定义直接建立 $a,c$ 的齐次方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-15 填-椭圆定义离心率
• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义
• 2013-江苏卷-12 填-椭圆方程与性质