2018-全国卷II理-19 解-抛物线焦点弦

本题导读

本题考查抛物线的定义。核心在于坐标法、几何特性法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）设抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$|AB|=8$.

(1) 求 $l$ 的方程；

(2) 求过点 $A,B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求直线）：

• 核心公式：对于 $y^2=2px$，过焦点的弦长 $|AB|=x_1+x_2+p$。
• 联立方程：设直线 $y=k(x-1)$，代入 $y^2=4x$，利用韦达定理得到 $x_1+x_2$ 的表达式。
• 解方程：由 $x_1+x_2+2=8$ 求出 $k$。

2. 第二问（求圆）：

• 圆心特征：圆过 $A,B$ 两点，说明圆心 $(x_0,y_0)$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上。
• 半径特征：圆与准线 $x=-1$ 相切，说明半径 $R=|x_0-(-1)|=x_0+1$。
• 建立等式：圆心到点 $A$（或 $B$）的距离平方等于半径平方。或者利用弦心距 $d$、半径 $R$、半弦长 $4$ 的勾股关系：$d^2+4^2=R^2$。

✅【答案】

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(1) $l:y=x-1$

(2) $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=16$ 或 $(x-11{)}^2+(y+6{)}^2=144$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由 $y^2=4x$ 得 $p=2$，焦点 $F(1,0)$，准线方程为 $x=-1$。 设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-1)$ ($k>0$)。 联立方程： $\{\begin{array}{l}y=k(x-1)\\ y^2=4x\end{array}⟹k^2(x-1{)}^2=4x⟹k^2{x}^2-(2k^2+4)x+k^2=0$ 由韦达定理得：$x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2}$。 根据抛物线定义，焦点弦长 $|AB|=x_1+x_2+p=x_1+x_2+2$。 所以 $\frac{2k^2+4}{k^2}+2=8⟹\frac{2k^2+4}{k^2}=6$ $2k^2+4=6k^2⟹4k^2=4⟹k^2=1$。 因为 $k>0$，所以 $k=1$。 直线 $l$ 的方程为 $y=x-1$。

(2)解： 由(1)知 $k=1$，直线 $l:y=x-1$。 将 $k=1$ 代入韦达定理：$x_1+x_2=6,x_1{x}_2=1$。 则 $y_1+y_2=(x_1-1)+(x_2-1)=x_1+x_2-2=4$。 线段 $AB$ 的中点为 $M(3,2)$。 因为直线 $l$ 的斜率为 1，所以 $AB$ 的垂直平分线方程为： $y-2=-1(x-3)⟹y=-x+5$。 设圆心为 $(x_0,y_0)$，则 $y_0=-x_0+5$。 圆与准线 $x=-1$ 相切，故半径 $R=|x_0+1|$。 又圆心到直线 $AB$ 的距离 $d=\frac{|x_0-y_0-1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|x_0-(-x_0+5)-1|}{\sqrt{2}}=\frac{|2x_0-6|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}|x_0-3|$。 利用勾股定理 $d^2+(\frac{|AB|}{2}{)}^2=R^2$： $[\sqrt{2}(x_0-3){]}^2+4^2=(x_0+1{)}^2$ $2(x_0^2-6x_0+9)+16=x_0^2+2x_0+1$ $2x_0^2-12x_0+18+16=x_0^2+2x_0+1$ $x_0^2-14x_0+33=0⟹(x_0-3)(x_0-11)=0$。 解得 $x_0=3$ 或 $x_0=11$。

• 当 $x_0=3$ 时，$y_0=2,R=4$，圆的方程为 $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=16$；
• 当 $x_0=11$ 时，$y_0=-6,R=12$，圆的方程为 $(x-11{)}^2+(y+6{)}^2=144$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 焦点弦长公式的优越性：直接使用 $x_1+x_2+p$ 比使用两点间距离公式化简要快得多。
2. 垂径定理的代数化：在处理“圆过两点”时，利用“圆心在垂直平分线上”加上“勾股定理”通常比设圆的一般方程联立点坐标要简便。
3. 解析几何中的数形结合：本题中圆心、中点、准线的位置关系可以通过草图辅助判断，确保计算结果的合理性。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个结论：

• 以抛物线焦点弦为直径的圆必与准线相切（本题中 $x_0=3$ 的圆正是这个特殊情况，因为中点横坐标正好是 3）。
• 准线上任意一点对焦点弦 $AB$ 的张角性质也是解析几何的高频考点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.17 非对称韦达题型总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II理-09
• 2010-山东卷文-09 单-抛物线焦点弦
• 2011-辽宁卷文-07 单-抛物线焦点弦中点距离