2018-全国卷II理-22 解-参数方程

本题导读

本题考查参数方程与直角坐标方程的互化。核心在于代入消元法、参数几何意义法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta \\ y=4\sin \theta \end{array}$ ($\theta$ 为参数)，直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=1+t\cos \alpha \\ y=2+t\sin \alpha \end{array}$ ($t$ 为参数).

(1) 求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；

(2) 若曲线 $C$ 截直线 $l$ 所得线段的中点坐标为 $(1,2)$，求 $l$ 的斜率.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（方程互化）：

• 曲线 $C$：利用 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$，消去参数 $\theta$，得到椭圆方程。
• 直线 $l$：利用 $t$ 表达式消参。需注意分类讨论 $\cos \alpha =0$（垂直于 $x$ 轴）和 $\cos \alpha \ne 0$ 的情况。

2. 第二问（斜率求解）：

• 关键信息：中点为 $(1,2)$。观察直线的参数方程可知，当 $t=0$ 时，点坐标正好是 $(1,2)$。
• 几何意义：在直线的标准参数方程中，若 $t_1,t_2$ 是直线与曲线交点对应的参数，则中点对应的参数为 $\frac{t_1+t_2}{2}$。由于中点是 $(1,2)$（即 $t=0$ 处），故必有 $t_1+t_2=0$。
• 代入计算：将直线的参数方程代入椭圆的直角坐标方程，整理成关于 $t$ 的一元二次方程，利用韦达定理令一次项系数为 0，即可求出 $\tan \alpha$（斜率 $k$）。

✅【答案】

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(1) $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$，$l:y=\tan \alpha \cdot x+2-\tan \alpha$（$\cos \alpha \ne 0$）

(2) 斜率 $k=-2$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由曲线 $C$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta \\ y=4\sin \theta \end{array}$ 得 $\frac{x}{2}=\cos \theta ,\frac{y}{4}=\sin \theta$。 根据 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 得： $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$ 所以曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$。 对于直线 $l$：

• 当 $\cos \alpha \ne 0$ 时，由 $x=1+t\cos \alpha$ 得 $t=\frac{x-1}{\cos \alpha }$，代入 $y$ 的方程得： $y=2+(x-1)\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha (x-1)+2$。 即 $y=(\tan \alpha )x+2-\tan \alpha$。
• 当 $\cos \alpha =0$ 时，直线方程为 $x=1$。

(2)解： 将直线 $l$ 的参数方程代入曲线 $C$ 的直角坐标方程 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$： $\frac{(1+t\cos \alpha {)}^2}{4}+\frac{(2+t\sin \alpha {)}^2}{16}=1$ $4(1+2t\cos \alpha +t^2{\cos }^2\alpha )+(4+4t\sin \alpha +t^2{\sin }^2\alpha )=16$ 整理得： $(4{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )t^2+(8\cos \alpha +4\sin \alpha )t-8=0$ 设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，对应的参数分别为 $t_1,t_2$。 由题意，线段 $AB$ 的中点为 $(1,2)$，根据直线参数方程的几何意义可知： $t_1+t_2=0$ 根据韦达定理： $t_1+t_2=-\frac{8\cos \alpha +4\sin \alpha }{4{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }=0$ 由此得：$8\cos \alpha +4\sin \alpha =0⟹4\sin \alpha =-8\cos \alpha$。 所以直线 $l$ 的斜率 $k=\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 参数方程的“点对点”优势：直线的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cos \alpha \\ y=y_0+t\sin \alpha \end{array}$ 其中的 $(x_0,y_0)$ 如果正好是中点，那么处理弦长、中点等问题时，计算量会比常规的直线方程联立小很多。
2. 分母不为零的讨论：第一问消参时，涉及 $\tan \alpha$ 必须讨论 $\cos \alpha =0$ 的情形，这是解析几何中容易扣分的细节。
3. 几何意义回顾：$t$ 的绝对值 $|t|$ 表示直线上点到定点 $(x_0,y_0)$ 的距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个模型：

• 弦长公式：$|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2{)}^2-4t_1{t}_2}$。
• 中点条件：若 $(x_0,y_0)$ 是中点，则 $t_1+t_2=0$。
• 距离之积：$|MA|\cdot |MB|=|t_1{t}_2|$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-21 解-椭圆方程与双切线
• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质