2018-全国卷III理-22 解-圆的参数方程

本题导读

本题考查圆的参数方程与普通方程转化。核心在于直线参数方程法、几何性质法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$\odot O$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}$（$\theta$ 为参数），过点 $Q(0,-\sqrt{2})$ 且倾斜角为 $\alpha$ 的直线 $l$ 与 $\odot O$ 交于 $A,B$ 两点.

(1) 求 $\alpha$ 的取值范围；

(2) 求 $AB$ 中点 $P$ 的轨迹的参数方程.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：相交条件

• 圆 $O$ 的普通方程为 $x^2+y^2=1$，圆心 $(0,0)$，半径 $r=1$。
• 直线 $l$ 过点 $(0,-\sqrt{2})$。若直线与圆相交，则圆心到直线的距离 $d<r$。
• 注意讨论倾斜角 $\alpha =90^{\circ }$ 的特殊情况。

2. 第二问：中点轨迹

• 设直线的参数方程：过 $Q(0,-\sqrt{2})$，方向向量为 $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$。 方程为 $\{\begin{array}{l}x=t\cos \alpha \\ y=-\sqrt{2}+t\sin \alpha \end{array}$。
• 利用 $t$ 的几何意义：将直线方程代入圆方程 $x^2+y^2=1$，得到关于 $t$ 的一元二次方程。
• 设 $A,B$ 对应的参数为 $t_1,t_2$，则中点 $P$ 对应的参数 $t_P=\frac{t_1+t_2}{2}$（利用韦达定理）。
• 将 $t_P$ 代入直线参数方程，得到 $x,y$ 关于 $\alpha$ 的表达式。

✅【答案】

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(1) $\alpha \in (\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4})$

(2) $\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2\alpha \\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2\alpha \end{array}$（$\frac{\pi }{4}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$）

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 圆 $O$ 的普通方程为 $x^2+y^2=1$。 当 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ 时，直线 $l:x=0$ 经过圆心，必与圆交于两点，符合题意。 当 $\alpha \ne \frac{\pi }{2}$ 时，设直线斜率为 $k=\tan \alpha$。 直线 $l$ 的方程为 $y-(-\sqrt{2})=k(x-0)$，即 $kx-y-\sqrt{2}=0$。 圆心 $(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{k^2+1}}$。 由 $d<1$ 得 $\frac{2}{k^2+1}<1⟹k^2+1>2⟹k^2>1$。 解得 $k>1$ 或 $k<-1$。 结合倾斜角范围 $\alpha \in [0,\pi )$：

• 若 $k>1$，则 $\frac{\pi }{4}<\alpha <\frac{\pi }{2}$；
• 若 $k<-1$，则 $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$。 综上所述，$\alpha$ 的取值范围是 $(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4})$。

(2)解： 直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=t\cos \alpha \\ y=-\sqrt{2}+t\sin \alpha \end{array}$（$t$ 为参数）。 代入 $x^2+y^2=1$ 得： $(t\cos \alpha {)}^2+(-\sqrt{2}+t\sin \alpha {)}^2=1$ 整理得：$t^2-2\sqrt{2}t\sin \alpha +1=0$。 设 $A,B$ 两点对应的参数分别为 $t_1,t_2$，中点 $P$ 对应的参数为 $t_P$。 由韦达定理得 $t_1+t_2=2\sqrt{2}\sin \alpha$， 则 $t_P=\frac{t_1+t_2}{2}=\sqrt{2}\sin \alpha$。 将 $t_P$ 代入直线 $l$ 的参数方程中，得点 $P$ 的坐标： $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\sin \alpha \cos \alpha \\ y=-\sqrt{2}+\sqrt{2}{\sin }^2\alpha \end{array}$ 利用二倍角公式化简： $\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2\alpha \\ y=-\sqrt{2}+\sqrt{2}\cdot \frac{1-\cos 2\alpha }{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2\alpha \end{array}$ 故点 $P$ 的轨迹参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2\alpha \\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2\alpha \end{array}$（$\alpha$ 为参数，$\frac{\pi }{4}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 参数方程的优越性：在处理“中点”或“距离”问题时，直线的标准参数方程（含 $\sin \alpha ,\cos \alpha$）可以将坐标问题转化为标量 $t$ 的运算，极大地简化了过程。
2. 几何意义的运用：$t_P=\frac{t_1+t_2}{2}$ 是解决此类轨迹问题的核心。
3. 轨迹的完整性：求轨迹方程时，一定要注明参数的取值范围。本题中 $\alpha$ 的范围直接限制了 $P$ 点在圆内运动的边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个结论：

• 几何特征：过圆外一点 $Q$ 的直线与圆相交，所得弦中点的轨迹是以 $OQ$ 为直径的圆（位于已知圆内部的部分）。
• 本题验证：中点轨迹方程化为普通方程是 $x^2+(y+\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2=\frac{1}{2}$。这正是以 $(0,-\frac{\sqrt{2}}{2})$ 为圆心，$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 为半径的圆（即以 $O(0,0)$ 和 $Q(0,-\sqrt{2})$ 为直径端点的圆）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷理-03 单-圆参数方程
• 2013-新课标II卷理-23 解-圆参数方程
• 2013-湖南卷理-09 填-直线参数方程