2019-北京卷理-04 单-椭圆方程

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的离心率定义。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的离心率为 $\frac{1}{2}$，则()

A. $a^2=2b^2$　　　B. $3a^2=4b^2$　　　C. $a=2b$　　　D. $3a=4b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 核心公式回顾：

   • 离心率定义：$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。

   • 几何量关系：在椭圆中，$a,b,c$ 满足勾股定理变形 $a^2=b^2+c^2$（即 $c^2=a^2-b^2$）。

2. 逻辑链条：

   通过离心率求出 $c$ 与 $a$ 的比例关系 $\to$ 利用 $a^2=b^2+c^2$ 将 $c$ 替换掉 $\to$ 整理得出 $a$ 与 $b$ 的等量关系。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 由离心率建立 $c$ 与 $a$ 的关系：

   已知 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，

   则有 $a=2c$，两边平方得 $a^2=4c^2$，即 $c^2=\frac{1}{4}{a}^2$。

2. 代入椭圆基本恒等式：

   在椭圆中，$c^2=a^2-b^2$。

   将 $c^2=\frac{1}{4}{a}^2$ 代入上式：

   $\frac{1}{4}{a}^2=a^2-b^2$

3. 化简整理：

   移项得：$b^2=a^2-\frac{1}{4}{a}^2$

   $b^2=\frac{3}{4}{a}^2$

   等式两边同乘以 4，得：

   $4b^2=3a^2$

   故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基本功： 熟练掌握 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}$。利用这个变形公式可以一步到位：$1-\frac{b^2}{a^2}=(\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{4}⟹\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}⟹3a^2=4b^2$。

2. 易错辨析： 选项 C ($a=2b$) 和 D ($3a=4b$) 是线性关系，而离心率决定的是平方关系，通常通过 $a^2$ 和 $b^2$ 的比例来呈现。

📖【试题探源与推广】

Tip

离心率 $e$ 描述了椭圆的“扁平”程度：

1. $e\to 0$： $c$ 越小，$a$ 与 $b$ 越接近，椭圆越圆。当 $e=0$ 时，曲线退化为圆。

2. $e\to 1$： $c$ 越接近 $a$，$b$ 越小，椭圆越扁。

3. 常用关系：

   • 若 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $a^2=2b^2$（即选项 A 对应的离心率）。

   • 若 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $a=2b$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-12 填-椭圆方程与性质
• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义