2019-江苏卷-02 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的基本概念。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）已知复数 $(a+2\mathrm{i})(1+\mathrm{i})$ 的实部为 0，其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位，则实数 $a$ 的值是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数展开：利用多项式乘法法则展开 $(a+2\mathrm{i})(1+\mathrm{i})$。
2. 整理形式：利用 ${\mathrm{i}}^2=-1$，将结果整理成标准形式 $A+B\mathrm{i}$（其中 $A,B\in \mathbb{R}$）。
3. 建立方程：根据题意“实部为 0”，令 $A=0$，求解 $a$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $2$

【解析过程】 设 $z=(a+2\mathrm{i})(1+\mathrm{i})$， 展开得： $z=a\cdot 1+a\cdot \mathrm{i}+2\mathrm{i}\cdot 1+2{\mathrm{i}}^2$ $z=a+a\mathrm{i}+2\mathrm{i}-2$ $z=(a-2)+(a+2)\mathrm{i}$ 由于复数 $z$ 的实部为 0， 则有 $a-2=0$， 解得 $a=2$。

故填：$2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 复数单位的核心性质：${\mathrm{i}}^2=-1$ 是所有复数运算的基石，展开后务必第一时间转化，避免符号错误。
2. 基本概念辨析：

• 实部为 0：对应复数为纯虚数或 0。
• 虚部为 0：对应复数为实数。
• 纯虚数：要求实部为 0 且虚部 $\ne 0$。如果本题问的是“纯虚数”，在求得 $a=2$ 后还需验证虚部 $a+2=4\ne 0$。

3. 江苏卷计算特色：此类题目通常作为卷首的“送分题”，重点在于运算的准确性。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 中，可以补充关于复数乘法的旋转缩放意义：

• 复数 $1+\mathrm{i}$ 在复平面对应向量 $(1,1)$，其模为 $\sqrt{2}$，幅角为 $45^{\circ }$。
• 乘以 $1+\mathrm{i}$ 相当于将原复数对应的向量在复平面上逆时针旋转 $45^{\circ }$ 并拉伸 $\sqrt{2}$ 倍。
• 当结果实部为 0 时，说明最终向量落在虚轴上。通过几何画图也可以验证当 $a=2$ 时，$(2,2)$ 旋转 $45^{\circ }$ 后确实落在 $y$ 轴正半轴。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2014-山东卷理-01 单-复数的相等与共轭
• 2014-江苏卷-02 填-复数运算