2019-浙江卷-19 解-面面垂直

本题导读

本题考查面面垂直的性质定理。核心在于几何运算法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）如图，已知三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$，平面 $A{A}_1{C}_{1}C\perp$ 平面 $ABC$，$AB\perp BC$，$\angle BAC=30^{\circ }$，$A_{1}A=A_{1}C=AC$，$E,F$ 分别是 $AC,A_1{B}_1$ 的中点。

(1)证明：$EF\perp BC$；

(2)求直线 $EF$ 与平面 $A_{1}BC$ 所成角的余弦值。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（几何证明）：

• 目标是 $EF\perp BC$。
• 利用等腰三角形性质：$A_{1}E\perp AC$。
• 利用面面垂直性质：由平面 $A{A}_1{C}_{1}C\perp$ 平面 $ABC$ 且交线为 $AC$，得 $A_{1}E\perp$ 平面 $ABC$。
• 结合底面条件 $AB\perp BC$ 且 $A_1{B}_1\parallel AB$，可得 $BC\perp A_1{B}_1$。
• 最终通过线面垂直判定定理证明 $BC\perp$ 平面 $A_1{B}_{1}E$，从而得出结论。

2. 第二问（线面角）：

• 建系：由于 $A_{1}E\perp$ 平面 $ABC$ 且 $E$ 是 $AC$ 中点，在底面过 $E$ 作 $EH\perp AC$，以 $E$ 为原点，分别以 $EH,EC,E{A}_1$ 为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
• 定坐标：设定 $AC$ 的长度（如 $2\sqrt{3}$），计算出 $A,B,C,A_1,F$ 的坐标。
• 求向量：写出直线 $EF$ 的方向向量 $\overrightarrow{EF}$ 和平面 $A_{1}BC$ 的法向量 $\vec{n}$。
• 算角：先算 $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{EF},\vec{n}⟩|$，最后利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 求出余弦值。

✅【答案】

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(1)证明见解析。

(2)余弦值为 $\frac{3}{5}$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明：

连接 $A_{1}E,B_{1}E$。 在 $△A{A}_{1}C$ 中，$A_{1}A=A_{1}C$，$E$ 是 $AC$ 的中点，所以 $A_{1}E\perp AC$。 又平面 $A{A}_1{C}_{1}C\perp$ 平面 $ABC$，且平面 $A{A}_1{C}_{1}C\cap$ 平面 $ABC=AC$，$A_{1}E\subset$ 平面 $A{A}_1{C}_{1}C$， 根据面面垂直的性质定理，可得 $A_{1}E\perp$ 平面 $ABC$。 因为 $BC\subset$ 平面 $ABC$，所以 $A_{1}E\perp BC$。 因为 $AB\perp BC$，且三棱柱中 $A_1{B}_1\parallel AB$，所以 $A_1{B}_1\perp BC$。 又 $A_1{B}_1\cap A_{1}E=A_1$，且 $A_1{B}_1,A_{1}E\subset$ 平面 $A_1{B}_{1}E$， 所以 $BC\perp$ 平面 $A_1{B}_{1}E$。 因为 $EF\subset$ 平面 $A_1{B}_{1}E$，所以 $EF\perp BC$。

(2)解：

在平面 $ABC$ 内过 $E$ 作 $EH\perp AC$。 以 $E$ 为原点，以 $EH,EC,E{A}_1$ 的方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 设 $AC=2\sqrt{3}$，则 $AB=3,BC=\sqrt{3}$。 则 $E(0,0,0),A(0,-\sqrt{3},0),C(0,\sqrt{3},0),A_1(0,0,3)$。 在底面中，可算得 $B(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$。 因为 $\overrightarrow{A_1{B}_1}=\overrightarrow{AB}=(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2},0)$， 所以 $B_1(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2},3)$。 又 $F$ 是 $A_1{B}_1$ 的中点，所以 $F(\frac{3}{4},\frac{3\sqrt{3}}{4},3)$。 则 $\overrightarrow{EF}=(\frac{3}{4},\frac{3\sqrt{3}}{4},3)$。 设平面 $A_{1}BC$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$。 $\overrightarrow{A_{1}B}=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-3)$，$\overrightarrow{BC}=(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$。 由 $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{A_{1}B}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-3z=0\\ -\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0\end{array}$， 取 $x=1$，则 $y=\sqrt{3},z=1$，即 $\vec{n}=(1,\sqrt{3},1)$。 设直线 $EF$ 与平面 $A_{1}BC$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{EF}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{EF}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}+3}{\frac{3\sqrt{5}}{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{6}{\frac{15}{2}}=\frac{4}{5}$ 因为 $\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$， 所以 $\cos \theta =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\sqrt{1-(\frac{4}{5}{)}^2}=\frac{3}{5}$。 故直线 $EF$ 与平面 $A_{1}BC$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 建系的精准性：第一问证明的 $A_{1}E\perp$ 平面 $ABC$ 是建系的关键。在坐标系中，务必检查向量的坐标是否符合几何长度比例。
2. 正弦与余弦的转化：向量法求出的是线面角的正弦值（法向量与方向向量夹角的余角），题目要求的是余弦值，这是考生最容易在最后一步丢分的地方。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结一套建系后的快速检查法：

• 长度验证：利用 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 核对是否与题目给出的边长一致。
• 垂直验证：对于图中明显垂直的向量，计算其点积 $\vec{u}\cdot \vec{v}$ 是否为 0。
• 法向量方向：观察法向量的坐标正负，看它是否指向平面的“上方”或“下方”，与空间想象核对。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角
• 2014-浙江卷文-20 解-线面角
• 2020-新高考II卷-20 解-立几综合