2020-新高考II卷-20 解-立几综合

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质。核心在于几何法证明线面垂直、空间向量坐标法求线面角的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）如图, 四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为正方形, $PD\perp$ 底面 $ABCD$. 设平面 $PAD$ 与平面 $PBC$ 的交线为 $l$.

(1) 证明: $l\perp$ 平面 $PDC$;

(2) 已知 $PD=AD=1,Q$ 为 $l$ 上的点, $QB=\sqrt{2}$, 求 $PB$ 与平面 $QCD$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 根据面 $PAD$ 与面 $PBC$ 的交线性质，利用线面平行与垂直定理证明 $l\parallel BC\parallel AD$，进而证明 $l\perp$ 平面 $PDC$.
2. 建立空间直角坐标系，写出各点坐标，确定点 $Q$ 的坐标，求出平面 $QCD$ 的法向量，最后利用向量夹角公式求解线面角的正弦值。

✅【答案】

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$\vec{n}=(-1,0,1)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：因为底面 $ABCD$ 是正方形，所以 $AD\parallel BC$. 又因为 $AD\subset$ 平面 $PAD$， $BC\not\subset$ 平面 $PAD$， 所以 $BC\parallel$ 平面 $PAD$. 因为 $BC\subset$ 平面 $PBC$，平面 $PAD\cap$ 平面 $PBC=l$， 所以 $l\parallel BC$. 因为底面 $ABCD$ 是正方形，所以 $CD\perp BC$，从而 $l\perp CD$. 又因为 $PD\perp$ 底面 $ABCD$，且 $CD\subset$ 底面 $ABCD$，所以 $PD\perp CD$. 又 $PD\cap l$ 不对，应为 $PD\cap CD=D$， 所以 $CD\perp$ 平面 $PAD$，进而由 $l\parallel AD$ 可知 $CD\perp l$. 又 $PD\cap CD=D$，所以 $l\perp$ 平面 $PDC$.

(2) 以 $D$ 为坐标原点，$DA,DC,DP$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 因为 $PD=AD=1$，底面为正方形， 则 $D(0,0,0)$, $A(1,0,0)$, $B(1,1,0)$, $C(0,1,0)$, $P(0,0,1)$. 由 $l\parallel BC$ 且 $l$ 过点 $P(0,0,1)$ 且平行于 $x$ 轴， 设 $Q(t,0,1)$。 已知 $QB=\sqrt{2}$， $B(1,1,0)$， 则 $Q{B}^2=(t-1{)}^2+(0-1{)}^2+(1-0{)}^2=(t-1{)}^2+1+1=(\sqrt{2}{)}^2=2$， 即 $(t-1{)}^2=0⟹t=1$，故点 $Q$ 的坐标为 $(1,0,1)$. 平面 $QCD$ 的法向量可通过求平面内两向量的叉乘得到： $C(0,1,0)$, $D(0,0,0)$, $Q(1,0,1)$. $\overrightarrow{CD}=(0,-1,0)$, $\overrightarrow{DQ}=(1,0,1)$. 设平面 $QCD$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$， 则 $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{CD}=-y=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{DQ}=x+z=0\end{array}$ 取 $z=1$，则 $x=-1,y=0$，故 $\vec{n}=(-1,0,1)$. 向量 $\overrightarrow{PB}=B-P=(1-0,1-0,0-1)=(1,1,-1)$. 设直线 $PB$ 与平面 $QCD$ 所成角为 $\theta$，则： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{PB},\vec{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{PB}||\vec{n}|}$ $=\frac{|1(-1)+1(0)+(-1)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}\sqrt{(-1{)}^2+0^2+1^2}}=\frac{|-2|}{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$. 因此，$PB$ 与平面 $QCD$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直、面面交线、空间向量求线面角。
2. 核心方法：熟练运用坐标法建立系并通过法向量求解线面角。
3. 避坑指南：计算向量数量积与法向量时注意正负号，线面角正弦值等于法向量与直线方向向量余弦值的绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：新高考立体几何解答题常规题型。
2. 结论推广：线面角的求解关键在于准确求出平面的法向量与直线的方向向量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-19 解-线面角
• 2012年新课标Ⅰ理-18
• 2014-浙江卷文-20 解-线面角