2014-上海卷理-20 解-反函数的求法与定义域

本题导读

本题考查指数型复合函数的综合性质。第一问要求掌握反函数的求解步骤（反解、换元、注定义域）；第二问通过奇偶性定义构造关于参数 a 的方程，考查分类讨论的严谨性。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.

设常数 $a\ge 0$，函数 $f(x)=\frac{2^x+a}{2^x-a}$.

(1) 若 $a=4$，求函数 $y=f(x)$ 的反函数 $y=f^{-1}(x)$；

(2) 根据 $a$ 的不同取值，讨论函数 $y=f(x)$ 的奇偶性，并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反函数求解：
   • 将 $a=4$ 代入，得到具体解析式。
   • 利用 $y=f(x)$ 反解出 $x$。
   • 互换 $x,y$，并根据原函数的值域确定反函数的定义域。
2. 奇偶性讨论：
   • 偶函数需满足 $f(-x)=f(x)$ 恒成立。
   • 奇函数需满足 $f(-x)=-f(x)$ 恒成立。
   • 建立关于 $a$ 的方程并解之。注意题目给出的前提条件 $a\ge 0$。

✅【答案】

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第 (1) 小题：求反函数；求定义域；第 (2) 小题：讨论奇偶性；若 $f(x)$ 为偶函数

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：求反函数 当 $a=4$ 时，$f(x)=\frac{2^x+4}{2^x-4}$. 令 $y=\frac{2^x+4}{2^x-4}$，去分母整理得： $y(2^x-4)=2^x+4$ $y\cdot 2^x-2^x=4y+4$ $2^x(y-1)=4y+4⟹2^x=\frac{4y+4}{y-1}$ 由此反解出 $x$： $x={\log }_2\frac{4(y+1)}{y-1}$ 互换 $x,y$ 变量得：$f^{-1}(x)={\log }_2\frac{4x+4}{x-1}$. 求定义域：由指数式 $2^x>0$ 知 $\frac{4x+4}{x-1}>0$，解得 $x>1$ 或 $x<-1$. 故反函数为 $f^{-1}(x)={\log }_2\frac{4x+4}{x-1}$，定义域为 $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$.

第 (2) 小题：讨论奇偶性 ① 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $f(-x)=f(x)$ 对定义域内 $x$ 恒成立： $\frac{2^{-x}+a}{2^{-x}-a}=\frac{2^x+a}{2^x-a}⟹\frac{\frac{1}{2^x}+a}{\frac{1}{2^x}-a}=\frac{2^x+a}{2^x-a}$ $\frac{1+a\cdot 2^x}{1-a\cdot 2^x}=\frac{2^x+a}{2^x-a}$ 整理得：$(1+a\cdot 2^x)(2^x-a)=(1-a\cdot 2^x)(2^x+a)$ 展开得：$2^x-a+a\cdot 2^{2x}-a^2\cdot 2^x=2^x+a-a\cdot 2^{2x}-a^2\cdot 2^x$ 化简得：$2a(2^{2x}-1)=0$. 要使该式对 $x$ 恒成立，必有 $a=0$. 此时 $f(x)=\frac{2^x}{2^x}=1$ ($x\ne \text{无解}$，由于 $a=0$ 时分母不为 0 则 $x\in \mathbb{R}$)，$f(x)=1$ 为偶函数。

② 若 $f(x)$ 为奇函数，则 $f(-x)=-f(x)$ 对定义域内 $x$ 恒成立： $\frac{2^{-x}+a}{2^{-x}-a}=-\frac{2^x+a}{2^x-a}⟹\frac{1+a\cdot 2^x}{1-a\cdot 2^x}=-\frac{2^x+a}{2^x-a}$ 整理得：$(1+a\cdot 2^x)(2^x-a)=-(1-a\cdot 2^x)(2^x+a)$ 展开化简得：$2\cdot 2^x(1-a^2)=0$. 要使该式对 $x$ 恒成立，必有 $1-a^2=0⟹a=\pm 1$. 因为 $a\ge 0$，所以 $a=1$. 此时 $f(x)=\frac{2^x+1}{2^x-1}$ 为奇函数。

③ 结论：

• 当 $a=0$ 时，$f(x)$ 为偶函数；
• 当 $a=1$ 时，$f(x)$ 为奇函数；
• 当 $a\in (0,1)\cup (1,+\infty )$ 时，$f(x)$ 既非奇函数也非偶函数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的求法与定义域、含参函数奇偶性的判定。

2. 核心方法：反解 $x$ 后互换 $x,y$ 求反函数；用 $f(-x)=\pm f(x)$ 恒成立列方程讨论奇偶性。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 反函数与原函数定义域、值域互换。

2. 结论推广: $f(x)=\frac{2^x+a}{2^x-a}$ 中，$a=0$ 时为偶函数，$a=1$ 时为奇函数，其余为非奇非偶。

3. 方法推广: 含参函数奇偶性讨论，用定义恒成立转化为关于参数的方程求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-05 单-反函数的求法
• 2015-湖北卷文-06 单-函数定义域
• 2014-山东卷文-03 单-函数定义域