2020-上海卷-17 解-立几综合

本题导读

本题考查旋转体的定义。核心在于几何直观法、投影法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）已知 $ABCD$ 是边长为 1 的正方形，正方形 $ABCD$ 绕 $AB$ 旋转形成一个圆柱。

（1）求该圆柱的表面积；

（2）正方形 $ABCD$ 绕 $AB$ 逆时针旋转 $\frac{\pi }{2}$ 至 $AB{C}_1{D}_1$，求线段 $C{D}_1$ 与平面 $ABCD$ 所成的角。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：识别旋转体结构。绕 $AB$ 旋转，则 $AB$ 为高 $h=1$，底面半径 $r=AD=1$。表面积由两个底面圆和一个侧面矩形组成。
2. 第二问：寻找线面角的关键是确定射影。

• 旋转 $\frac{\pi }{2}$ 意味着前后两个平面垂直。
• 证明 $D_{1}A\perp$ 平面 $ABCD$，从而确定 $D_1$ 在底面上的投影为 $A$。
• 连接 $AC$，则 $\angle D_{1}CA$ 即为所求的线面角。
• 在 $Rt△D_{1}AC$ 中利用边长关系求解余弦值或正切值。

✅【答案】

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$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求圆柱的表面积 该圆柱的表面由上下两个半径为 1 的圆面和一个长为 $2\pi$、宽为 1 的矩形（侧面展开图）组成。 故该圆柱的表面积为： $S=2\times \pi \times 1^2+2\pi \times 1\times 1=4\pi$。

（2）求线面角 因为正方形 $AB{C}_1{D}_1$，所以 $A{D}_1\perp AB$。 又因为旋转角 $\angle DA{D}_1=\frac{\pi }{2}$，所以 $A{D}_1\perp AD$。 因为 $AD\cap AB=A$，且 $AD,AB\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $A{D}_1\perp$ 平面 $ABCD$。 由此可知，$D_1$ 在平面 $ABCD$ 上的投影为 $A$。 连接 $C{D}_1$ 和 $AC$，则 $\angle D_{1}CA$ 即为线段 $C{D}_1$ 与平面 $ABCD$ 所成的角。 在 $Rt△ADC$ 中，$AD=1,CD=1$，故 $AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 在 $Rt△D_{1}AC$ 中，$A{D}_1=1,AC=\sqrt{2}$，故 $C{D}_1=\sqrt{A{D}_1^2+A{C}^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$。 则 $\cos \angle D_{1}CA=\frac{AC}{C{D}_1}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。 所以线段 $C{D}_1$ 与平面 $ABCD$ 所成的角为 $\arccos \frac{\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 投影法的严谨性：在求线面角时，必须先通过线面垂直证明投影点的位置。本题中 $A{D}_1\perp AB$ 和 $A{D}_1\perp AD$ 是判定 $A{D}_1\perp$ 平面 $ABCD$ 的充分必要条件。
2. 计算细节：注意区分旋转前后的点。$C$ 还在原平面上，而 $D_1$ 是旋转后的新位置点。
3. 上海卷特色：上海卷的立体几何题往往结合旋转、折叠等动态背景，考查学生对空间位置关系变化的捕捉能力。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 若旋转角度为 $\alpha$，则 $D_1$ 到平面 $ABCD$ 的距离为 $AD\cdot \sin \alpha$。
• 方法的推广:
  • 空间向量法：建立以 $A$ 为原点的空间直角坐标系 $A-xyz$，令 $A(0,0,0),B(0,0,1),D(1,0,0),D_1(0,1,0)$，则 $C(1,0,1)$。通过向量 $\overrightarrow{C{D}_1}$ 与平面法向量 $\vec{n}=(0,0,1)$ 的夹角余角来求解，结果一致。
• 相关知识点:
  • 二面角：旋转 $\frac{\pi }{2}$ 实际上构造了一个直二面角 $D_1-AB-D$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程