2020-全国卷I理-11 单-圆系方程

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及切线长与三角形面积。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）11. 已知 $\odot M:x^2+y^2-2x-2y-2=0$，直线 $l:2x+y+2=0$，$P$ 为 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作 $\odot M$ 的切线 $PA,PB$，切点为 $A,B$。当 $|PM|\cdot |AB|$ 最小时，直线 $AB$ 的方程为（ ）

A. $2x-y-1=0$　　　　　　　　　　　　　B. $2x+y-1=0$

C. $2x-y+1=0$　　　　　　　　　　　　　D. $2x+y+1=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简圆方程： 将 $\odot M$ 配方：$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=4$。圆心 $M(1,1)$，半径 $r=2$。

2. 几何转化： 观察四边形 $PAMB$。由于 $PA,PB$ 为切线，$MA\perp PA$，$MB\perp PB$。

• 四边形 $PAMB$ 的面积 $S=2S_{△PAM}=2\cdot (\frac{1}{2}|PA|\cdot |AM|)=|PA|\cdot r=2|PA|$。

• 另一方面，对角线互相垂直的四边形面积 $S=\frac{1}{2}|PM|\cdot |AB|$。

• 因此，$\frac{1}{2}|PM|\cdot |AB|=2|PA|⟹|PM|\cdot |AB|=4|PA|$。

3. 寻找最小值点 $P$： 要使 $|PM|\cdot |AB|$ 最小，只需使 $|PA|$ 最小。 根据勾股定理，$|PA{|}^2=|PM{|}^2-r^2$。 所以当 $|PM|$ 取得最小值时（即 $P$ 为从 $M$ 到直线 $l$ 的垂足时），$|PA|$ 最小。

4. 求直线 $AB$ 方程：

• 求出垂足 $P$ 的坐标。
• 直线 $AB$ 实际上是以 $PM$ 为直径的圆与圆 $M$ 的公共弦。将两个圆的方程相减即可。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 确定点 $P$： 由分析知，当 $MP\perp l$ 时，$|PM|$ 最小。 直线 $l:2x+y+2=0$ 的斜率 $k_l=-2$，则 $MP$ 所在的直线斜率为 $k_{MP}=\frac{1}{2}$。 直线 $MP$ 方程：$y-1=\frac{1}{2}(x-1)⟹x-2y+1=0$。 联立 $\{\begin{array}{l}2x+y+2=0\\ x-2y+1=0\end{array}$，解得 $P(-1,0)$。

2. 构建以 $PM$ 为直径的圆： $M(1,1)$，$P(-1,0)$，圆心为线段中点 $(0,\frac{1}{2})$，直径平方 $|PM{|}^2=(1+1{)}^2+(1-0{)}^2=5$。 半径平方 $R^2=\frac{5}{4}$。 圆方程：$x^2+(y-\frac{1}{2}{)}^2=\frac{5}{4}⟹x^2+y^2-y-1=0$ —— ①

3. 求公共弦 $AB$： 原圆 $M$ 方程：$x^2+y^2-2x-2y-2=0$ —— ② 用 ② - ① 得： $(-2x-2y-2)-(-y-1)=0$ $-2x-y-1=0⟹2x+y+1=0$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 切点弦方程快捷键： 对于圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，圆外一点 $P(x_0,y_0)$ 对应的切点弦 $AB$ 方程为 $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$。

• 本题中 $P(-1,0),M(1,1),r^2=4$。
• 直接代入：$(-1-1)(x-1)+(0-1)(y-1)=4⟹-2x+2-y+1=4⟹2x+y+1=0$。
• 建议： 掌握此公式可极大缩短考场计算时间。

• 几何直观： 理解 $|PM|\cdot |AB|$ 的几何意义是四边形面积的两倍，是破题的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目问的是 $|AB|$ 的最小值，计算方式则不同。$|AB|=\frac{2|PA|\cdot r}{|PM|}=\frac{2r\sqrt{|PM{|}^2-r^2}}{|PM|}=2r\sqrt{1-\frac{r^2}{|PM{|}^2}}$。可以看到，随着 $|PM|$ 增大，$|AB|$ 也是增大的。因此本题中不论是 $|PA|$、$|PM|$ 还是 $|AB|$，最小值都发生在垂足 $P$ 处。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理