2020-全国卷II理-06 单-等比数列

本题导读

本题考查抽象数列的递推关系，以及等比数列的定义与通项公式。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）6. 数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2$，$a_{m+n}=a_m{a}_n$。若 $a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots +a_{k+10}=2^{15}-2^5$，则 $k=$（ ）

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别数列类型：

• 观察 $a_{m+n}=a_m{a}_n$，这是典型的等比数列特征。
• 令 $m=1$，则 $a_{n+1}=a_1{a}_n=2a_n$。
• 由 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=2$ 且 $a_1=2$ 可知，$\{a_n\}$ 是首项为 2，公比 $q=2$ 的等比数列。

2. 求通项公式：

• $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 2^{n-1}=2^n$。

3. 利用求和公式建立方程：

• 目标和式为等比数列 $\{a_n\}$ 从第 $k+1$ 项起连续 10 项的和。
• 首项为 $a_{k+1}=2^{k+1}$，项数为 10，公比为 2。
• 公式：$S=\frac{\text{首项}(q^n-1)}{q-1}$。

4. 对比指数求解：

• 将计算结果与题目给出的 $2^{15}-2^5$ 进行同底数幂对比，得出 $k$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 判定数列： 在 $a_{m+n}=a_m{a}_n$ 中，令 $m=1$，得 $a_{n+1}=2a_n$。 所以 $\{a_n\}$ 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，通项为 $a_n=2^n$。

2. 列式求和： $a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots +a_{k+10}$ 是一个等比数列求和，其首项为 $a_{k+1}$，项数为 10。 $S=\frac{a_{k+1}(2^{10}-1)}{2-1}=a_{k+1}(2^{10}-1)=2^{k+1}(2^{10}-1)$ $S=2^{k+11}-2^{k+1}$

3. 对比求解： 题目已知 $S=2^{15}-2^5$。 根据对应关系： $\{\begin{array}{l}k+11=15\\ k+1=5\end{array}⟹k=4$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 赋值法的威力： 在处理 $a_{m+n}$ 型递推式时，通过令 $m=1$ 或 $n=1$ 是将其转化为标准递推式的最快路径。
• 指数运算敏感度： 观察 $2^{15}-2^5$ 的结构，应立刻联想到它可以提取公因式为 $2^5(2^{10}-1)$，这与等比求和公式中的 $(q^n-1)$ 结构完美契合。
• 项数陷阱： 务必确认求和项数是否为 10。在本题中，从 $k+1$ 到 $k+10$ 共有 $10-1+1=10$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果递推关系变为 $a_{m+n}=a_m+a_n$，且 $a_1=2$，则数列变为等差数列。 抽象关系与数列类型的对应关系如下：

• $f(x+y)=f(x)+f(y)⟺$ 等差数列
• $f(x+y)=f(x)f(y)⟺$ 等比数列
• $f(xy)=f(x)+f(y)⟺$ 对数型数列 熟记这些模型可以帮助你在考场上快速求解此类选择题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-江西卷理-03 单-等比中项
• 2014-新课标II卷理-17 解-等比数列定义与通项公式