2020-全国卷II理-20 解-立几综合

本题导读

本题考查线面平行与平行的性质定理。核心在于几何法 (投影判定)、空间向量法 (可选)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）20. 如图，已知三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的底面是正三角形，侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 是矩形，$M,N$ 分别为 $BC,B_1{C}_1$ 的中点，$P$ 为 $AM$ 上一点，过 $B_1{C}_1$ 和 $P$ 的平面交 $AB$ 于 $E$，交 $AC$ 于 $F$。

（1）证明：$A{A}_1\parallel MN$，且平面 $A_{1}AMN\perp$ 平面 $E{B}_1{C}_{1}F$；

（2）设 $O$ 为 $△A_1{B}_1{C}_1$ 的中心，若 $AO\parallel$ 平面 $E{B}_1{C}_{1}F$，且 $AO=AB$，求直线 $B_{1}E$ 与平面 $A_{1}AMN$ 所成角的正弦值。

🔍【思路分析】

破题导航

（1）证明面面垂直：

• 第一步： 证明 $A{A}_1\parallel MN$。利用矩形侧面中点连线平行于侧棱，再利用棱柱侧棱平行。
• 第二步： 证明线面垂直。证明 $BC\perp$ 平面 $A_{1}AMN$。因为底面是正三角形且 $M$ 是中点，所以 $BC\perp AM$；又侧面是矩形，$BC\perp B{B}_1$，而 $B{B}_1\parallel MN$。
• 第三步： 转换到截面。证明 $EF\parallel BC$，从而 $EF\perp$ 平面 $A_{1}AMN$，进而得出面面垂直。

（2）求线面角：

• 第一步（定位置）： 利用 $AO\parallel$ 截面 $E{B}_1{C}_{1}F$ 且 $AO$ 在平面 $A_{1}AMN$ 内，推导出 $AO\parallel NP$。由此确定 $P$ 点在 $AM$ 上的位置。
• 第二步（找角）： 直线 $B_{1}E$ 与平面 $A_{1}AMN$ 的夹角。由于 $BC\perp$ 平面 $A_{1}AMN$，且 $B_1{C}_1\parallel BC$，所以 $B_1$ 到平面的距离即为 $B_{1}N$ 的长。
• 第三步（计算）： 构造直角三角形，求出 $B_{1}E$ 的长度及 $B_1$ 到平面的垂直距离，利用正弦公式求解。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{10}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：$A{A}_1\parallel MN$，且平面 $A_{1}AMN\perp$ 平面 $E{B}_1{C}_{1}F$

1. 因为 $M,N$ 分别为 $BC,B_1{C}_1$ 的中点，且侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 是矩形， 所以 $MN\parallel B{B}_1$。又三棱柱中 $A{A}_1\parallel B{B}_1$， 故 $A{A}_1\parallel MN$。
2. 在正 $△ABC$ 中，$M$ 为 $BC$ 中点，所以 $BC\perp AM$。 因为侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 为矩形，所以 $BC\perp B{B}_1$。 又 $MN\parallel B{B}_1$，故 $BC\perp MN$。 因为 $AM\cap MN=M$，且 $AM,MN\subset$ 平面 $A_{1}AMN$， 所以 $BC\perp$ 平面 $A_{1}AMN$。
3. 因为 $B_1{C}_1\parallel BC$，且 $B_1{C}_1\subset$ 平面 $E{B}_1{C}_{1}F$， 由线面平行的性质定理，平面 $E{B}_1{C}_{1}F\cap$ 平面 $ABC=EF$， 所以 $EF\parallel B_1{C}_1\parallel BC$。 因为 $BC\perp$ 平面 $A_{1}AMN$，所以 $EF\perp$ 平面 $A_{1}AMN$。 又 $EF\subset$ 平面 $E{B}_1{C}_{1}F$， 故平面 $E{B}_1{C}_{1}F\perp$ 平面 $A_{1}AMN$。

（2）求直线 $B_{1}E$ 与平面 $A_{1}AMN$ 所成角的正弦值

1. 设 $AB=a$。在正 $△A_1{B}_1{C}_1$ 中，中心 $O$ 到边 $B_1{C}_1$ 中点 $N$ 的距离 $ON=\frac{\sqrt{3}}{6}a$。 由 $AO\parallel$ 平面 $E{B}_1{C}_{1}F$，$AO\subset$ 平面 $A_{1}AMN$，平面 $E{B}_1{C}_{1}F\cap$ 平面 $A_{1}AMN=NP$。 所以 $AO\parallel NP$。 又 $A{A}_1\parallel MN$，且 $O$ 在 $A_{1}N$ 上，易证 $ON\parallel AM$ 不成立，此处需注意 $AO,NP$ 在平面 $A_{1}AMN$ 内构成平行四边形 $AONP$。 从而 $NP=AO=AB=a$。

2. 在 $Rt△PNM$ 中，$MN=B{B}_1$。由 $A{O}^2=A_1{O}^2+A{A}_1^2$（若侧棱垂直底面）或建立空间坐标系。 根据条件 $AO=AB=a$，推导出 $MN=\sqrt{a^2-(\frac{\sqrt{3}}{3}a{)}^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$。 由 $△APE\sim △AMB$ 可得 $EP$ 的长度。

3. 寻找投影： 由（1）知 $B_{1}N\perp$ 平面 $A_{1}AMN$，所以 $E$ 在平面 $A_{1}AMN$ 上的投影为 $P$，$B_1$ 的投影为 $N$。 故直线 $B_{1}E$ 在平面 $A_{1}AMN$ 上的投影为 $NP$。 直线 $B_{1}E$ 与平面 $A_{1}AMN$ 所成的角为 $\angle B_{1}EN$ 的余角？不，应直接看 $△B_{1}EP$（其中 $B_{1}Q\perp$ 平面）。 更简便地，设角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{d(B_1,\text{平面})}{B_{1}E}$。 经计算，$B_{1}N=\frac{a}{2}$，$EN$ 的长度由几何关系得出。最终结果为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 平行关系的转化： $AO\parallel$ 平面 $⟹AO\parallel NP$ 是确定 $P$ 点位置的关键。
• 面面垂直的性质： 证明 $EF$ 垂直于平面是连接已知条件与结论的桥梁。
• 线面角的定义： 直线上一点到平面的距离与斜线段长度之比即为正弦值。在第一问已经证明线面垂直的情况下，寻找距离变得非常简单。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果本题使用空间向量法： 以 $M$ 为原点，$MC$ 为 $x$ 轴，$MA$ 为 $y$ 轴，$MN$ 方向为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。

1. 设 $AB=2$，则 $B(1,0,0),C(-1,0,0),A(0,\sqrt{3},0)$。
2. 根据 $AO=AB$ 求出三棱柱的高。
3. 求出平面 $A_{1}AMN$ 的法向量 $\vec{n}=(1,0,0)$（即 $BC$ 方向）。
4. 求出 $\overrightarrow{B_{1}E}$ 的坐标，利用 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{B_{1}E}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{B_{1}E}|\cdot |\vec{n}|}$ 求解。 向量法虽然步骤多，但思路固定，适合对几何直观不敏感的同学。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直
• 2009-江苏卷-16 解-线面平行面面垂直
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行