2020-全国卷III理-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及共轭复数。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）2. 复数 $\frac{1}{1-3\text{i}}$ 的虚部是（ ）

A. $-\frac{3}{10}$　　　　　　B. $-\frac{1}{10}$　　　　　　C. $\frac{1}{10}$　　　　　　D. $\frac{3}{10}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分母实数化： 利用复数除法法则，分子分母同乘以分母 $1-3\text{i}$ 的共轭复数 $1+3\text{i}$。

2. 整理为标准形式： 将结果化为 $a+bi$（$a,b\in R$）的形式。

3. 提取虚部： 根据定义，复数 $z=a+bi$ 的虚部是 $b$（注意：虚部不带 $\text{i}$）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 进行除法运算： $z=\frac{1}{1-3\text{i}}=\frac{1\cdot (1+3\text{i})}{(1-3\text{i})(1+3\text{i})}$

2. 化简分母： 利用平方差公式及 ${\text{i}}^2=-1$： 分母 $=1^2-(3\text{i}{)}^2=1-(-9)=10$。

3. 化简整体： $z=\frac{1+3\text{i}}{10}=\frac{1}{10}+\frac{3}{10}\text{i}$

4. 判定虚部： 复数 $z$ 的实部为 $\frac{1}{10}$，虚部为 $\frac{3}{10}$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 虚部定义的陷阱： 很多同学在填空题中会错误地写成 $\frac{3}{10}\text{i}$。记住：实部和虚部都是实数。
• 计算技巧： $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$。熟练这个结论可以跳过中间步骤，直接写出分母为 $1^2+(-3{)}^2=10$。
• 复数选择题定位： 此类题目通常出现在高考卷的前 3 题，属于绝对不能丢分的“送分题”。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目问的是该复数在复平面内对应的点所在的象限，由于实部 $\frac{1}{10}>0$ 且虚部 $\frac{3}{10}>0$，该点位于第一象限。如果问该复数的模，则为 $|z|=\sqrt{(\frac{1}{10}{)}^2+(\frac{3}{10}{)}^2}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法