2020-新高考I卷-09 多-直线与圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与性质。核心在于方程变形法 (化为标准式)、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）9. 已知曲线 $C:m{x}^2+n{y}^2=1$，则（ ）

A. 若 $m>n>0$，则 $C$ 是椭圆，其焦点在 $y$ 轴上

B. 若 $m=n>0$，则 $C$ 是圆，其半径为 $\sqrt{n}$

C. 若 $mn<0$，则 $C$ 是双曲线，其渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{-\frac{m}{n}}x$

D. 若 $m=0,n>0$，则 $C$ 是两条直线

🔍【思路分析】

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1. 统一变形： 将 $m{x}^2+n{y}^2=1$ 化为类似于标准方程的形式： $\frac{x^2}{\frac{1}{m}}+\frac{y^2}{\frac{1}{n}}=1$

2. 逐项判定逻辑：

• 椭圆判定： 看分母是否均为正且不等。分母大的轴为焦点所在轴。
• 圆判定： 看分母是否相等且为正。
• 双曲线判定： 看分母是否异号。渐近线求法：令等号右边为 $0$。
• 直线判定： 若其中一个系数为 $0$，方程退化为一元二次方程。

✅【答案】

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ACD

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 ACD

【解析过程】

• 验证 A： 若 $m>n>0$，则 $\frac{1}{m}<\frac{1}{n}$ 且均为正数。 方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 形式，其中 $b^2=\frac{1}{n}>a^2=\frac{1}{m}$。 因为 $y$ 轴方向的分母大，所以焦点在 $y$ 轴上。A 正确。
• 验证 B： 若 $m=n>0$，方程为 $x^2+y^2=\frac{1}{n}$。 这是圆心在原点的圆，半径 $R=\sqrt{\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}$。选项说是 $\sqrt{n}$，显然不符。B 错误。
• 验证 C： 若 $mn<0$，则 $m,n$ 异号。 此时 $\frac{1}{m}$ 与 $\frac{1}{n}$ 异号，曲线为双曲线。 求渐近线令 $m{x}^2+n{y}^2=0⟹n{y}^2=-m{x}^2⟹y^2=-\frac{m}{n}{x}^2$。 开方得 $y=\pm \sqrt{-\frac{m}{n}}x$（注意 $mn<0$ 保证了根号内为正）。C 正确。
• 验证 D： 若 $m=0,n>0$，方程变为 $n{y}^2=1⟹y^2=\frac{1}{n}$。 解得 $y=\frac{1}{\sqrt{n}}$ 或 $y=-\frac{1}{\sqrt{n}}$。 这是两条平行于 $x$ 轴的直线。D 正确。

故选：ACD。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 倒数关系： 系数 $m$ 在分母位置是 $1/m$，这是本题最容易出错的地方（如 B 选项）。
• 渐近线捷径： 对于双曲线 $A{x}^2+B{y}^2=C$，其渐近线方程直接令 $A{x}^2+B{y}^2=0$ 即可求得，无需背诵 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
• 退化情形： 解析几何不仅研究圆锥曲线，也要关注当二次项系数消失时产生的退化情形（直线、点或无迹）。

📖【试题探源与推广】

Tip

在新高考多选题中，如果某个选项（如 B）可以通过简单的反例或快速判断的计算错误（半径的倒数关系）排除，那么剩下的选项（A, C, D）需要更加仔细地核实。

• 反思： 若题目改为 $m{x}^2+n{y}^2=0$，当 $m,n>0$ 时，曲线退化为一个点 $(0,0)$。
• 变式： 如果 $m>n>0$，求长轴长。应为 $2\times \frac{1}{\sqrt{n}}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理