2020-浙江卷-14 填-圆锥展开

本题导读

本题考查圆锥的侧面积公式，以及圆锥侧面展开图。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）14. 已知圆锥的侧面积（单位：cm²）为 $2\pi$，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是 ________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设定基本量： 设圆锥的底面半径为 $r$，母线长（展开后扇形的半径）为 $l$。

2. 利用侧面积公式： 圆锥侧面积公式为 $S_{侧}=\pi rl$。 已知 $S_{侧}=2\pi$，则有：$\pi rl=2\pi ⟹rl=2$ —— ①

3. 利用展开图性质： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，其半径为 $l$，弧长为 $L$。

• 已知： 展开图是一个半圆。半圆的弧长 $L=\pi \times 径=\pi l$。
• 联系： 侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长 $2\pi r$。
• 结论： $\pi l=2\pi r⟹l=2r$ —— ②

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

【答案】 1

【解析过程】

1. 建立方程组： 由题意及几何性质，得到关于 $r$ 和 $l$ 的方程组： $\{\begin{array}{ll}rl=2& \text{(侧面积条件)}\\ l=2r& \text{(展开图为半圆条件)}\end{array}$
2. 求解半径 $r$： 将 ② 代入 ① 中： $r\cdot (2r)=2$ $2r^2=2$ $r^2=1$
3. 确定结果： 由于半径 $r>0$，故 $r=1$。 (此时母线长 $l=2$)

故答案为：1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 关键结论： 当圆锥侧面展开图是半圆时，母线长恰好是底面半径的 2 倍（即 $l=2r$）。此时圆锥的轴截面是一个等边三角形。
• 公式陷阱： 很多同学会混淆扇形面积公式 $\frac{1}{2}{l}_{弧}R$ 和圆面积公式。记住在展开图中，扇形的“半径”是圆锥的“母线”。
• 单位一致性： 题目明确了单位，填空时直接填数字即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

设展开图扇形的圆心角为 $\alpha$（弧度制）： $\alpha =\frac{2\pi r}{l}$

• 若展开图是半圆，$\alpha =\pi ⟹l=2r$。
• 若展开图是 $1/3$ 圆，$\alpha =\frac{2\pi }{3}⟹l=3r$。
• 这个比例关系在处理动态圆锥或侧面上最短路径问题时非常有用。

快速求解： 侧面积 $\pi rl=2\pi ⟹rl=2$。半圆说明母线 $l$ 围成的弧长 $\pi l$ 等于底面周长 $2\pi r$，即 $l=2r$。代入得 $2r^2=2⟹r=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 07.01 弧度制与扇形度量

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程