2021-上海卷-09 填-圆柱表面积

本题导读

本题考查圆柱的几何性质，以及空间三角形的面积计算。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）9. 已知圆柱底面半径为 $1$，高为 $2$，$AB$ 为上底面圆的直径，点 $C$ 是下底面圆周上的一个动点。当点 $C$ 绕着下底面圆周旋转一周时，$△ABC$ 面积的取值范围是 ___________．

1. 确定底边： 在 $△ABC$ 中，边 $AB$ 是固定的，其长度等于圆柱底面的直径，即 $AB=2\times 1=2$。

2. 寻找高的变化规律： 三角形的面积 $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot h$，其中 $h$ 是点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离。 设点 $C$ 在上底面的投影为 $C^{\prime }$。根据三垂线定理，点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离 $h$ 满足： $h^2=(C{C}^{\prime }{)}^2+d^2$ 其中 $C{C}^{\prime }=2$（圆柱的高），$d$ 是点 $C^{\prime }$ 到直径 $AB$ 的距离。

3. 求 $d$ 的取值范围： 点 $C^{\prime }$ 在上底面圆周上运动。

• 当 $C^{\prime }$ 落在直径 $AB$ 的端点（即 $A$ 或 $B$）时，$d$ 最小，$d_{\min }=0$。
• 当 $C^{\prime }{O}^{\prime }$ 垂直于 $AB$ 时（即 $C^{\prime }$ 位于垂直于直径的半径端点），$d$ 最大，$d_{\max }=R=1$。

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$[2,\surd 5]$

✅【答案】

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$[2,\sqrt{5}]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析三角形的边长 底边 $AB$ 为直径，$AB=2$。 设圆柱的高为 $h_{\text{cyl}}=2$，底面半径为 $R=1$。

第二步：计算高的最值 点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离为 $h$。 由勾股定理可知：$h=\sqrt{2^2+d^2}$，其中 $d$ 为 $C$ 点在底面圆心的投影到 $AB$ 的投影直线的距离。

1. 最小值情况： 当 $C$ 点的投影落在直径 $AB$ 的正下方时，$d=0$。 此时 $h=\sqrt{2^2+0^2}=2$。 面积 $S_{\min }=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。
2. 最大值情况： 当 $C$ 点的投影到直径 $AB$ 所在直线的距离最大（即等于半径 $1$）时，$d=1$。 此时 $h=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。 面积 $S_{\max }=\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{5}=\sqrt{5}$。

综上所述，$△ABC$ 面积的取值范围是 $[2,\sqrt{5}]$。

故答案为：$[2,\sqrt{5}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 空间距离的转化： 点到直线的距离通常转化为“点到平面的垂线段”与“垂足到直线的距离”的勾股合成。

• 边界意识： 动态几何题要习惯考虑特殊位置（如端点、垂直点、中点等）。

在上海卷中，类似的动态问题还可能考查：

1. 动点轨迹长度： 例如点 $P$ 在侧面上运动且满足 $PA=PB$，求点 $P$ 的轨迹长度。
2. 三垂线定理的深度应用： 掌握“线面垂直 $⟹$ 线线垂直”的逻辑链条。对于本题，若记 $O$ 为底面圆心，$C$ 到直径 $AB$ 的投影为 $D$，则 $△COD$ 始终是直角三角形，这能帮助我们更直观地理解距离的变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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