本题导读
本题考查抛物线的标准方程与性质。核心在于导数求切线法、设线法 (韦达定理)的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2021年乙卷理）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上，， 为 的两条切线，， 是切点，求 面积的最大值．
🔍【思路分析】
破题导航
本题考查抛物线与圆的综合以及直线与抛物线的相交、相切问题：
第（1）问（求基本量）：利用抛物线焦点的坐标公式写出 点坐标。点 到圆 上点的最小距离等于点 到圆心 的距离减去半径 。建立关于 的方程即可求解。
第（2）问（切线与面积最值）：本题属于经典的**“阿基米德三角形”**模型。
常规解法是：利用导数求出经过 和 的切线方程，两切线联立求出交点 的坐标与 坐标的关系（这里通常会发现点 的坐标能用直线 的方程系数表示，即“极点极线”性质）。
将直线 与抛物线联立，利用韦达定理表示出弦长 和点 到直线 的距离 ，从而表达出面积 。最后利用点 在圆 上的条件，将面积表达式转化为关于某一单变量（如 或 ）的函数，求出最值。
✅【答案】
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(1)
(2) 面积的最大值为
✍【详细解析】
Abstract
（1）求 的值
抛物线 的焦点为 。
圆 的圆心为 ，半径 。
点 到圆 上点的最小距离为 。
根据题意有：
（由于 ，，故绝对值直接去掉）
解得 ，即 。
（2）求 面积的最大值
由（1）知，抛物线 的方程为 ，即 。
对原函数求导得：。
设切点 ，。
则切线 的斜率为 ，其方程为 ，化简得：
同理可得切线 的方程为：
联立两切线方程求交点 ：
两式相减得 ，解得 。
代回得 。
即点 坐标为 。
设直线 的方程为 。
联立直线 与抛物线方程 ：
消去 并整理得：。
此方程有两个不相等的实数根 ，则：
。
由韦达定理得：，。
将韦达定理结果代入点 的坐标中，可得 。
接下来计算 的面积 。
弦长
。
点 到直线 的距离 为：
（因为 ，可去绝对值）
代入面积公式：
又因为点 在圆 上，所以：
即 。
将 代入表达式 中：
将此代回①式，得到面积关于 的函数：
考虑 的取值范围：
点 的纵坐标 。由于点 在圆心为 、半径为 的圆上，
所以纵坐标的范围是 ，即 。
由此解得 。
设 ，其对称轴为 。
二次函数在区间 上单调递增，
所以当 时， 取得最大值 。
此时 的最大值为 （且此时 ，符合 的要求）。
因此， 面积的最大值为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
阿基米德三角形及其面积公式（超强二级结论）：
本题中的 严格符合“阿基米德三角形”的定义。
性质：若抛物线方程为 ，从点 引抛物线的两条切线，切点为 。则：
弦 （切点弦）的方程为：。
阿基米德 的面积公式为：
用结论快速求解本题部分过程：
题目中抛物线为 （即 ），设点 。
则 。
因为 在圆 上，所以 。
代入面积公式：
由 ，二次函数 的对称轴为 ，
所以在 上单调递减。
当 时，取得最大值 。
所以 。
对比原解析，利用结论可以省去巨大的运算量，是极好的验算手段！
极点极线的代数体现：本题设直线方程去求交点 ，这是因为高考大题要求写出详尽推导。如果熟悉切点弦方程（即极线方程），就能直接看出 的几何含义，思路更加清晰。
范围与最值：利用图形自身的范围求参数范围是解析几何的难点。本题巧妙利用点在圆上求出纵坐标 ，为后续二次函数求最值提供了关键的定义域约束。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：待补
结论推广：待补
🔗【关联脉络】
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