2021-北京卷-02 单-复数运算

本题导读

本题考查除法运算，以及共轭复数。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）在复平面内，复数 $z$ 满足 $(1-i)z=2$，则 $z=()$

A. $2+i$　　　　　　B. $2-i$　　　　　　C. $1-i$　　　　　　D. $1+i$

🔍【思路分析】

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识别方程类型：本题是一个关于复数 $z$ 的一次方程，已知 $(1-i)z=2$。

明确求解目标：需要求出复数 $z$ 的代数形式（即 $a+bi$ 的形式）。

确定解题策略：

策略一：直接将未知数 $z$ 孤立，得到 $z=\frac{2}{1-i}$，然后利用复数除法法则（分子分母同乘分母的共轭复数）进行分母实数化。

策略二：设 $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$，代入原方程，利用复数相等的条件（实部等于实部，虚部等于虚部）列方程组求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数运算法（分母实数化，强烈推荐）

由题意可知，方程为 $(1-i)z=2$。

两边同时除以 $(1-i)$，分离出 $z$：

$z=\frac{2}{1-i}$

为了化简该分式，需要进行分母实数化。将分子和分母同时乘以分母的共轭复数 $(1+i)$：

$z=\frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)}$

展开分母，利用平方差公式 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ 以及 $i^2=-1$：

$z=\frac{2(1+i)}{1^2-i^2}=\frac{2(1+i)}{1-(-1)}=\frac{2(1+i)}{2}$

约去分子分母中的公因数 $2$，得到：

$z=1+i$

方法二：待定系数法（方程思想）

设复数 $z$ 的代数形式为 $z=x+yi$，其中 $x,y\in \mathbb{R}$。

将 $z$ 代入已知等式 $(1-i)z=2$ 中，得：

$(1-i)(x+yi)=2$

展开左边的乘积：

$x+yi-xi-y{i}^2=2$

因为 $i^2=-1$，代入化简并合并实部与虚部：

$(x+y)+(y-x)i=2+0i$

根据两个复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚部），可列出二元一次方程组：

$\{\begin{array}{l}x+y=2\\ y-x=0\end{array}$

由第二个方程得 $y=x$，代入第一个方程得 $2x=2$，即 $x=1$。

从而求得 $y=1$。

所以复数 $z=1+1\cdot i=1+i$。

结论：对应选项 D 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心技巧：复数除法的核心在于“分母实数化”，即分子分母同乘分母的共轭复数。熟记常用的复数运算结论能大大提高做题速度，例如：$(1-i)(1+i)=2$，$(1+i{)}^2=2i$，$(1-i{)}^2=-2i$，$\frac{1+i}{1-i}=i$，$\frac{1-i}{1+i}=-i$。本题直接利用 $(1-i)(1+i)=2$ 可以快速求解。

易错辨析（符号错误）：

在计算 $(1-i)(1+i)$ 时，容易错算成 $1^2+i^2=0$ 或者 $1-1=0$。必须牢记 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$，中间是加号！

试题评价：本题主要考查复数的四则运算，尤其是除法运算，属于高考卷必考的基础题（2021年北京卷高考真题），旨在考查学生的数学运算核心素养。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法