2021-新高考II卷-20 解-椭圆综合

本题导读

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质。核心在于联立方程法、韦达定理法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右焦点为 $F(\sqrt{2},0)$，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）设 $M,N$ 是椭圆 $C$ 上的两点，直线 $MN$ 与曲线 $x^2+y^2=b^2(x>0)$ 相切。证明：$M,N,F$ 三点共线的充要条件是 $|MN|=\sqrt{3}$。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求方程）：

• 由右焦点坐标得 $c=\sqrt{2}$。
• 利用离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 求出 $a=\sqrt{3}$。
• 利用 $b^2=a^2-c^2$ 确定 $b^2=1$，写出方程。

2. 第二问（充要条件证明）：

• 必要性证明 ($F\in MN\Rightarrow |MN|=\sqrt{3}$)：
  • 设直线 $MN$ 过 $F(\sqrt{2},0)$ 且与圆 $x^2+y^2=1$ 相切。
  • 利用点到直线距离 $d=1$ 求出斜率 $k$。
  • 联立方程，利用韦达定理和弦长公式计算 $|MN|$。
• 充分性证明 ($|MN|=\sqrt{3}\Rightarrow F\in MN$)：
  • 设直线 $MN:y=kx+m$，利用切线条件 $m^2=k^2+1$。
  • 代入弦长公式建立关于 $k$ 的方程，解出 $k$ 与 $m$ 的具体关系。
  • 验证此时直线是否必过点 $F(\sqrt{2},0)$。

✅【答案】

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结论得证

✍【详细解析】

Abstract

（1）求椭圆 $C$ 的方程 由题意，右焦点 $F(\sqrt{2},0)$，则 $c=\sqrt{2}$。 因为 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$， 解得 $a=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{3}$，所以 $a^2=3$。 则 $b^2=a^2-c^2=3-2=1$。 故椭圆 $C$ 的方程为：$\frac{x^2}{3}+y^2=1$。

（2）证明：$M,N,F$ 三点共线的充要条件是 $|MN|=\sqrt{3}$ 曲线方程为 $x^2+y^2=1(x>0)$。

若 $M,N,F$ 三点共线，则直线 $MN$ 过点 $F(\sqrt{2},0)$。 设直线 $MN:x=my+\sqrt{2}$（由于切点 $x>0$，直线不垂直于 $x$ 轴）。 由直线与圆 $x^2+y^2=1$ 相切，得圆心 $(0,0)$ 到直线的距离 $d=\frac{|\sqrt{2}|}{\sqrt{m^2+1}}=1$。 平方得 $2=m^2+1⟹m^2=1$。 联立 $\{\begin{array}{l}x=my+\sqrt{2}\\ x^2+3y^2=3\end{array}$ 得 $(m^2+3)y^2+2\sqrt{2}my-1=0$。 设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则 $y_1+y_2=\frac{-2\sqrt{2}m}{m^2+3},y_1{y}_2=\frac{-1}{m^2+3}$。 $|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2}=\sqrt{\frac{8m^2+4(m^2+3)}{(m^2+3{)}^2}}=\frac{\sqrt{12m^2+12}}{m^2+3}$。 将 $m^2=1$ 代入：$|y_1-y_2|=\frac{\sqrt{24}}{4}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。 $|MN|=\sqrt{1+m^2}|y_1-y_2|=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}=\sqrt{3}$。 故必要性成立。

设直线 $MN:y=kx+m$。由相切条件知 $d=\frac{|m|}{\sqrt{k^2+1}}=1⟹m^2=k^2+1$ ①。 联立 $\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ x^2+3y^2=3\end{array}$ 得 $(1+3k^2)x^2+6kmx+3m^2-3=0$。 $\Delta =36k^2{m}^2-12(1+3k^2)(m^2-1)=12(3k^2-m^2+1)$。 代入 ① 式得 $\Delta =12(3k^2-k^2-1+1)=24k^2$。 由弦长公式：$|MN|=\frac{\sqrt{1+k^2}\sqrt{\Delta }}{1+3k^2}=\frac{\sqrt{1+k^2}\cdot \sqrt{24k^2}}{1+3k^2}=\sqrt{3}$。 两边平方并整理：$8k^2(1+k^2)=(1+3k^2{)}^2$。 $8k^2+8k^4=1+6k^2+9k^4⟹k^4-2k^2+1=0⟹(k^2-1{)}^2=0$。 解得 $k^2=1$。此时 $m^2=k^2+1=2$，即 $m=\pm \sqrt{2}$。 由切点 $x>0$ 知 $kx$ 与 $m$ 异号，验证得直线方程为 $y=\pm (x-\sqrt{2})$。 这些直线均经过点 $F(\sqrt{2},0)$，即 $M,N,F$ 三点共线。 故充分性成立。 综上所述，结论得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 切线性质的几何化应用：在解析几何中，处理直线与圆相切，“圆心到直线的距离等于半径” 往往比判别式 $\Delta =0$ 效率更高，且能直接建立斜率 $k$ 与截距 $m$ 的等量关系。

2. 运算优化的意识：在充分性证明中，先计算判别式 $\Delta$ 并利用切线约束条件进行消元化简，是避免陷入复杂代数运算陷阱的关键。

3. 避坑指南：

• 注意第一问求 $a$ 时，由 $c=\sqrt{2},e=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 得到 $a=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{3}$ 的约分过程。
• 第二问中直线斜率可能不存在的情况需简单讨论或采用 $x=my+n$ 的形式避开。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题可以利用极点与极线的理论进行背景深化。点 $F$ 是椭圆的焦点，与其相关的直线运动往往伴随着特定的几何不变量。
• 变式思考：如果将圆的半径变为 $c$，或者将 $|MN|$ 的值改变，三点共线的结论是否依然成立？ (提示：这涉及到椭圆中准圆或特征圆的性质，可以尝试推广该模型。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理