2021-新高考I卷-03 单-圆锥侧面展开

本题导读

本题考查圆锥的几何性质，以及圆锥的侧面展开图。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）

A. $2$　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $4\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确几何量的对应关系：

• 设圆锥的底面半径为 $r$，母线长为 $l$。
• 圆锥的侧面展开图是一个扇形，该扇形的半径等于圆锥的母线长 $l$。
• 该扇形的弧长 $L$ 等于圆锥底面圆的周长 $C$。

2. 利用已知条件列方程：

• 已知 $r=\sqrt{2}$，可求出底面周长 $C$。
• 已知展开图是“半圆”，根据弧长公式可表示出扇形的弧长 $L$。
• 令 $L=C$，解出 $l$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算圆锥底面圆的周长 已知圆锥的底面半径 $r=\sqrt{2}$。 底面圆的周长 $C=2\pi r=2\sqrt{2}\pi$。

第二步：表示侧面展开图的弧长 设圆锥的母线长为 $l$。 圆锥的侧面展开图是一个以 $l$ 为半径的扇形。 题目中明确该展开图是一个“半圆”，即圆心角为 $\pi$ 的扇形。 其弧长 $L=\pi \times \text{半径}=\pi l$。

第三步：建立等式并求解 根据圆锥展开的性质，侧面展开图的弧长等于底面圆的周长： $L=C$ $\pi l=2\sqrt{2}\pi$ 两边同时约去 $\pi$，解得： $l=2\sqrt{2}$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心逻辑：解决圆锥展开问题的“不变量”原则——“底周变弧长，母线变半径”。
2. 结论推导（二级结论）：

• 若侧面展开图是圆心角为 $\alpha$ 的扇形，则有关系式：$2\pi r=\alpha \cdot l$。
• 特别地，当展开图为半圆（$\alpha =\pi$）时，可直接得出 $l=2r$。
• 当展开图为等边三角形/ $120^{\circ }$ 扇形等特殊角度时，计算逻辑一致。

3. 避坑指南：

• 混淆概念：初学者容易把母线 $l$ 误认为展开图半圆的直径，实际上它是半圆的半径。
• 空间想象：如果无法在脑中复原展开过程，建议在草稿纸上画出圆锥与扇形的对比图，标注出相同的长度段。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果题目已知圆锥的母线长为 $4$，侧面展开图是一个圆心角为 $120^{\circ }$ 的扇形，求该圆锥的底面半径 $r$。 (提示：利用 $2\pi r=\frac{120}{180}\pi \times 4$ 求解。)
• 能力提升：若已知侧面展开图是半圆，除了能求出母线长，还可以推导出圆锥的轴截面是一个什么形状的三角形？ (提示：由 $l=2r$ 知，轴截面的两条腰长为 $2r$，底边（直径）也为 $2r$，故轴截面是一个等边三角形。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 07.01 弧度制与扇形度量

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程