2021-浙江卷-04 单-三视图体积

本题导读

本题考查空间几何体，以及三视图还原。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A. $\frac{3}{2}$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $3\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

解决三视图问题的核心口诀是：“长对正、高平齐、宽相等”。

1. 定型： 先看俯视图和主视图，确定该几何体是一个以俯视图为底面、上下平行的四棱柱（具体为直四棱柱）。
2. 定量： 从三视图中标注的数据，提取出四棱柱的高，以及底面（等腰梯形）的上底、下底和腰长。
3. 计算： 利用梯形面积公式 $S=\frac{1}{2}(a+b)h$ 算出底面积，再乘以棱柱的高 $H$，利用公式 $V=S\cdot H$ 求出总体积。

✍【详细解析】

Abstract

根据三视图还原，该几何体为一个直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$。 (注：请在此处粘贴还原后的几何体草图或解析图)

由三视图的数据可知：

• 该直四棱柱的高为 $H=1$。
• 其底面 $ABCD$ 为一个等腰梯形。
• 在该等腰梯形中，上底长为 $\sqrt{2}$，下底长为 $2\sqrt{2}$，腰长为 $1$。

接下来计算底面等腰梯形的高 $h^{\prime }$： 梯形下底比上底多出的部分被两腰平分，因此直角三角形的底边长为： $\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 利用勾股定理求梯形的高 $h^{\prime }$： $h^{\prime }=\sqrt{1^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

计算四棱柱的底面积 $S_{ABCD}$： $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\times (\sqrt{2}+2\sqrt{2})\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\times 3\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}$

计算几何体的总体积 $V$： $V=S_{ABCD}\times H=\frac{3}{2}\times 1=\frac{3}{2}$

对比选项，正确答案为 A。

✅【答案】

点击查看答案

A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 等腰梯形的高： 遇到等腰梯形，标准辅助线就是**“双高线”**。作两条高后，中间是一个矩形，两边是两个全等的直角三角形。下底被分成的两小段长度始终为 $\frac{\text{下底}-\text{上底}}{2}$，配合腰长用勾股定理快速得出高。
• 三视图还原防坑： 很多同学算出了底面积 $\frac{3}{2}$，就以为万事大吉，忘了去乘以棱柱的高。虽然本题中棱柱的高恰好是 $1$，乘不乘结果在数值上都一样，但如果高是 $2$ 或者 $3$，漏乘一步就会导致白白丢分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-08 单-由三视图还原几何体
• 2013-湖北卷理-08 单-三视图还原
• 2013-陕西卷理-12 填-三视图还原