2021-浙江卷-16 填-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的定义与性质，以及离心率计算。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）16. 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，焦点 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)(c>0)$。若过 $F_1$ 的直线和圆 $(x-\frac{1}{2}c{)}^2+y^2=c^2$ 相切，与椭圆在第一象限交于点 $P$，且 $P{F}_2\perp x$ 轴，则该直线的斜率是 $\underline{}$，椭圆的离心率是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求斜率 $k$： 观察直线 $F_{1}P$。它经过点 $F_1(-c,0)$ 且与圆心为 $A(\frac{c}{2},0)$、半径为 $c$ 的圆相切。我们可以构造直角三角形，利用 $\sin \theta =\frac{R}{d}$ 求出直线的倾斜角 $\theta$ 的三角函数值，从而得到斜率。

2. 求离心率 $e$： 利用 $P{F}_2\perp x$ 轴这一特殊条件。在直角三角形 $△P{F}_1{F}_2$ 中，已知底边 $F_1{F}_2=2c$ 和角度 $\theta$，可以表示出 $P{F}_2$ 和 $P{F}_1$ 的长度。最后根据椭圆定义 $2a=P{F}_1+P{F}_2$ 求出 $a$ 与 $c$ 的关系。

✍【详细解析】

Abstract

第一步：特殊化处理 设 $c=2$，则 $F_1(-2,0),F_2(2,0)$。圆心为 $A(1,0)$，圆半径 $R=2$。

第二步：求直线斜率 $k$ 设直线 $F_{1}P$ 的倾斜角为 $\theta$。 在直角三角形（由 $F_1$、圆心 $A$ 及切点 $B$ 构成）中： 对边 $AB=R=2$，斜边 $F_{1}A=|1-(-2)|=3$。 所以 $\sin \theta =\frac{AB}{F_{1}A}=\frac{2}{3}$。 根据同角三角函数关系：$\cos \theta =\sqrt{1-(\frac{2}{3}{)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。 则斜率 $k=\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

第三步：求离心率 $e$ 在 $△P{F}_1{F}_2$ 中，$P{F}_2\perp F_1{F}_2$，且 $\angle P{F}_1{F}_2=\theta$。 底边 $F_1{F}_2=2c=4$。

• $P{F}_2=F_1{F}_2\cdot \tan \theta =4\times \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$。
• $P{F}_1=\frac{F_1{F}_2}{\cos \theta }=\frac{4}{\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{12}{\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$。

根据椭圆定义： $2a=P{F}_1+P{F}_2=\frac{12\sqrt{5}}{5}+\frac{8\sqrt{5}}{5}=\frac{20\sqrt{5}}{5}=4\sqrt{5}$。 解得 $a=2\sqrt{5}$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ ； $\frac{\sqrt{5}}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 特殊化思想： 在求离心率这类比例问题时，令 $c$ 为一个具体的常数（如 $1$ 或 $2$）能极大减少字母运算量。
• 圆的切线与三角函数： 过圆外一点作圆的切线，该点、圆心、切点构成的直角三角形是解决斜率问题的桥梁。
• 椭圆的定义： 看到椭圆上的点 $P$ 到两焦点的距离，第一反应必须是 $P{F}_1+P{F}_2=2a$。

本题中 $P{F}_2\perp x$ 轴是一个非常强的条件。在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦被称为**“通径”**，其长度为 $\frac{2b^2}{a}$。 本题中 $P{F}_2$ 是半个通径，即 $P{F}_2=\frac{b^2}{a}$。 结合本题结果验证： $\frac{b^2}{a}=\frac{a^2-c^2}{a}=a-\frac{c^2}{a}=a-ce=2\sqrt{5}-2\cdot \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{10\sqrt{5}-2\sqrt{5}}{5}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$。 与解析结果完全一致。在处理类似的选择填空题时，熟记通径公式往往能提供另一条快速核验的路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-15 填-椭圆定义离心率
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义