2021-甲卷理-03 单-复数运算

本题导读

本题考查乘方运算，以及除法运算。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷理）已知 $(1-\text{i}{)}^{2}z=3+2\text{i}$，则 $z=($　　$)$

A. $-1-\frac{3}{2}\text{i}$　　　　B. $-1+\frac{3}{2}\text{i}$　　　　C. $-\frac{3}{2}+\text{i}$　　　　D. $-\frac{3}{2}-\text{i}$

🔍【思路分析】

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1. 化简左侧系数：先利用完全平方公式或复数乘法展开 $(1-\text{i}{)}^2$。

2. 建立并化简方程：将展开后的结果代入原方程，化归为 $z=\frac{a+b\text{i}}{c\text{i}}$ 的形式。

3. 复数除法（分母实数化）：将分式的分子分母同乘以 $\text{i}$，利用 ${\text{i}}^2=-1$ 将其转化为标准代数形式 $A+B\text{i}$，进而比对选项。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 化简左侧系数：

根据完全平方公式展开 $(1-\text{i}{)}^2$：

$(1-\text{i}{)}^2=1^2-2\text{i}+{\text{i}}^2$

因为 ${\text{i}}^2=-1$，所以：

$1-2\text{i}-1=-2\text{i}$

2. 求解复数 $z$ 的表达式：

将上述结果代回原方程，得：

$-2\text{i}\cdot z=3+2\text{i}$

等式两边同除以 $-2\text{i}$：

$z=\frac{3+2\text{i}}{-2\text{i}}$

3. 分母实数化：

将分子和分母同时乘以 $\text{i}$：

$z=\frac{(3+2\text{i})\cdot \text{i}}{-2\text{i}\cdot \text{i}}=\frac{3\text{i}+2{\text{i}}^2}{-2{\text{i}}^2}$

再次代入 ${\text{i}}^2=-1$：

$z=\frac{3\text{i}+2(-1)}{-2(-1)}=\frac{-2+3\text{i}}{2}$

分离实部与虚部：

$z=-1+\frac{3}{2}\text{i}$

4. 结论：

对应选项 B 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：熟记复数的两个高频运算结论：$(1+\text{i}{)}^2=2\text{i}$ 和 $(1-\text{i}{)}^2=-2\text{i}$。在考场上直接调用此结论，可以免去第一步的展开计算，大幅提速。

• 规律总结：处理分母只有纯虚数（如 $c\text{i}$）的分式时，无需乘以共轭复数 $-c\text{i}$，只需分子分母同乘以 $\text{i}$ 即可快速实现分母实数化。

• 避坑指南：在最后一步写成标准形式 $a+b\text{i}$ 时，注意分子是 $3\text{i}-2$，分离后实部应为 $-1$、虚部应为 $\frac{3}{2}$，切忌将实部与虚部的位置看反，从而误选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-02 单-复数运算与相等
• 2013-北京卷理-02 单-复数的乘法与乘方
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义