2022-乙卷理-14 填-圆的方程

本题导读

本题考查圆的一般方程，以及圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 过四点 $(0,0)$，$(4,0)$，$(-1,1)$，$(4,2)$ 中的三点的一个圆的方程为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 明确题目要求：题目给出四个点，要求选其中三个点确定一个圆。由于三点确定一个圆（不共线时），理论上最多有 ${\text{C}}_4^3=4$ 个可能的答案。

2. 方法选择：

   • 通用方法（待定系数法）：设圆的一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，将三点坐标代入解三元一次方程组。

   • 几何观察法（特殊位置）：观察点的坐标特征。例如 $(0,0)$ 和 $(4,0)$ 在 $x$ 轴上，$(4,0)$ 和 $(4,2)$ 在 $x=4$ 直线上，这两条直线垂直，可构成直角三角形，利用直径求解更简单。

✅【答案】

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$x^2+y^2-4x-6y=0$

（注：本题答案不唯一，只需写出过任意三点的一个圆方程即可。其他满足条件的方程包括：

$x^2+y^2-4x-2y=0$

$x^2+y^2-\frac{8}{3}x-\frac{14}{3}y=0$

$x^2+y^2-\frac{16}{5}x-2y-\frac{16}{5}=0$）

✍【详细解析】

Abstract

记四点分别为 $O(0,0),A(4,0),B(-1,1),C(4,2)$．

解法一：待定系数法（选取 $O,A,B$ 三点）

1. 设圆的方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$．

2. 代入点 $O(0,0)$：$F=0$．

3. 代入点 $A(4,0)$：$16+4D+F=0⟹16+4D=0⟹D=-4$．

4. 代入点 $B(-1,1)$：$(-1{)}^2+1^2-D+E+F=0$．

   即 $2-(-4)+E=0⟹6+E=0⟹E=-6$．

5. 结果：圆的方程为 $x^2+y^2-4x-6y=0$（即 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=13$）．

解法二：几何性质法（选取 $O,A,C$ 三点）

6. 观察坐标：$O(0,0)$ 与 $A(4,0)$ 连线在 $x$ 轴上；$A(4,0)$ 与 $C(4,2)$ 连线垂直于 $x$ 轴．

7. 判定形状：$\overrightarrow{OA}=(4,0),\overrightarrow{AC}=(0,2)$，显然 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AC}$，即 $△OAC$ 为直角三角形，且 $\angle OAC=90^{\circ }$．

8. 确定圆心与半径：

   $△OAC$ 的外接圆以斜边 $OC$ 为直径．

   直径端点为 $O(0,0),C(4,2)$．

   圆心为 $OC$ 中点 $(2,1)$．

   半径 $r=\frac{1}{2}|OC|=\frac{1}{2}\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{5}$．

9. 结果：圆的标准方程为 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=5$，展开得 $x^2+y^2-4x-2y=0$．

其他组合结果（参考）：

• 选 $O,B,C$：解得 $x^2+y^2-\frac{8}{3}x-\frac{14}{3}y=0$．

• 选 $A,B,C$：解得 $x^2+y^2-\frac{16}{5}x-2y-\frac{16}{5}=0$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 优先找直角：在解析几何中，如果给定的点能够构成直角三角形（如利用坐标轴上的点或垂直线段），直接利用**“斜边即直径”**可以快速求解题目，避免繁琐的解方程组。

  2. 过原点的优势：如果选取的点包含原点 $(0,0)$，圆的一般方程中 $F=0$ 这一条件是已知的，能显著减少计算量。

• 避坑指南：

  • 本题为开放性试题，写出任意一个满足条件的方程均得分。建议考试时选择计算量最小的组合（如含原点的组合，或构成直角三角形的组合）。

  • 原始 OCR 识别中出现的三角函数和导数内容属于无关干扰，做真题复盘时需具备甄别能力。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程