2022-乙卷理-20 解-椭圆综合

本题导读

本题考查标准方程。核心在于待定系数法、设而不求法（韦达定理）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、$y$ 轴，且过 $A(0,-2),B(\frac{3}{2},-1)$ 两点．

（1）求 $E$ 的方程；

（2）设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M,N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $AB$ 交于点 $T$，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{MT}=\overrightarrow{TH}$．证明：直线 $HN$ 过定点．

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求方程）：

   • 设椭圆的标准方程为 $m{x}^2+n{y}^2=1$（$m>0,n>0$），这样可以避免讨论焦点在哪个轴上。

   • 代入点 $A,B$ 的坐标，解方程组求出 $m,n$，进而写出标准方程。

2. 第二问（定点证明）：

   • 几何条件代数化：

     • 直线 $AB$：写出直线方程。

     • 点 $T$：由 $M(x_1,y_1)$ 且 $MT\parallel x$ 轴，可知 $y_T=y_1$，代入直线 $AB$ 方程求 $x_T$。

     • 点 $H$：由 $\overrightarrow{MT}=\overrightarrow{TH}$ 知 $T$ 是 $MH$ 的中点，利用中点公式表示 $x_H,y_H$。

   • 直线 $MN$ 设法：由于直线过点 $P(1,-2)$，且 $A(0,-2)$ 为椭圆下顶点，直线 $MN$ 不可能水平（否则只有一切点），故可设直线 $MN:x=m(y+2)+1$。

   • 联立与韦达定理：联立直线 $MN$ 与椭圆方程，得到关于 $y$ 的一元二次方程。

   • 定点验证：猜测定点为 $A(0,-2)$，证明 $k_{AN}=k_{AH}$，即三点共线。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$

(2) 直线 $HN$ 经过定点 $A(0,-2)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $E$ 的方程

1. 设椭圆方程： 由题意，椭圆 $E$ 的中心在原点，对称轴为坐标轴，设方程为 $m{x}^2+n{y}^2=1$ $(m>0,n>0)$．

2. 代入点坐标： 将 $A(0,-2)$ 代入得：$n(-2{)}^2=1⟹4n=1⟹n=\frac{1}{4}$． 将 $B(\frac{3}{2},-1)$ 代入得：$m(\frac{3}{2}{)}^2+n(-1{)}^2=1⟹\frac{9}{4}m+\frac{1}{4}=1$． 解得 $\frac{9}{4}m=\frac{3}{4}⟹m=\frac{1}{3}$．

3. 得出结论： 椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$．

（2）证明：直线 $HN$ 过定点

• 直线 $AB$ 方程： $k_{AB}=\frac{-1-(-2)}{\frac{3}{2}-0}=\frac{1}{1.5}=\frac{2}{3}$． 直线 $AB$ 方程为 $y=\frac{2}{3}x-2$，即 $x=\frac{3}{2}(y+2)$．

• 点 $M,T,H$ 的坐标表示： 设 $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$． 由题意，直线 $MT\parallel x$ 轴，则 $y_T=y_M=y_1$． 点 $T$ 在直线 $AB$ 上，故 $x_T=\frac{3}{2}(y_1+2)$．即 $T(\frac{3}{2}(y_1+2),y_1)$． 由 $\overrightarrow{MT}=\overrightarrow{TH}$ 知 $T$ 为线段 $MH$ 的中点． $x_H=2x_T-x_1=3(y_1+2)-x_1$； $y_H=2y_T-y_1=2y_1-y_1=y_1$． 故 $H(3(y_1+2)-x_1,y_1)$．

2. 联立直线与椭圆方程： 直线 $MN$ 过点 $P(1,-2)$．依题意直线 $MN$ 不为 $y=-2$（否则只有切点 $A$），故可设直线 $MN$ 方程为 $x=m(y+2)+1$． 联立椭圆方程 $4x^2+3y^2=12$：

$4[m(y+2)+1{]}^2+3y^2-12=0$

技巧：令 $t=y+2$（即 $y=t-2$），则方程化为：

$4(mt+1{)}^2+3(t-2{)}^2-12=0⟹(4m^2+3)t^2+(8m-12)t+4=0$

设 $t_1,t_2$ 分别对应 $y_1,y_2$，由韦达定理：

$t_1+t_2=\frac{12-8m}{4m^2+3},t_1{t}_2=\frac{4}{4m^2+3}$

3. 证明直线 $HN$ 过定点 $A(0,-2)$： 方法一：斜率共线法 要证 $H,N$ 及定点 $A(0,-2)$ 共线，只需证 $k_{HA}=k_{NA}$． $k_{NA}=\frac{y_2-(-2)}{x_2-0}=\frac{y_2+2}{x_2}$． $k_{HA}=\frac{y_H-(-2)}{x_H-0}=\frac{y_1+2}{3(y_1+2)-x_1}$． 需证：$\frac{y_2+2}{x_2}=\frac{y_1+2}{3(y_1+2)-x_1}$． 利用 $x_2=m(y_2+2)+1$ 和 $x_1=m(y_1+2)+1$，代入上式： 左边 $=\frac{y_2+2}{m(y_2+2)+1}=\frac{t_2}{m{t}_2+1}$． 右边 $=\frac{t_1}{3t_1-(m{t}_1+1)}=\frac{t_1}{(3-m)t_1-1}$． 需证：$t_2[(3-m)t_1-1]=t_1(m{t}_2+1)$ 展开：$(3-m)t_1{t}_2-t_2=m{t}_1{t}_2+t_1$ 移项：$(3-2m)t_1{t}_2=t_1+t_2$． 代入韦达定理： 左边 $=(3-2m)\cdot \frac{4}{4m^2+3}=\frac{12-8m}{4m^2+3}$． 右边 $=\frac{12-8m}{4m^2+3}$． 左右相等，得证．

方法二：向量法（略） 也可通过计算 $\overrightarrow{AH}//\overrightarrow{AN}$ 证明，本质与斜率法一致．

4. 结论： 直线 $HN$ 经过定点 $A(0,-2)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 平移换元法：在处理过定点 $(x_0,y_0)$ 的直线与圆锥曲线联立时，令 $t=y-y_0$（本题为 $y+2$）能显著简化韦达定理，是解决此类“定点偏移”问题的实用技巧。

  2. 几何条件的代数翻译：$\overrightarrow{MT}=\overrightarrow{TH}$ 本质上是中点公式。将 $T$ 点坐标用 $y_1$ 表示，再反解 $H$ 点坐标，是打通几何与代数的关键。

• 避坑指南：证明三点共线时，如果一点是原点，用斜率最简单；如果是 $A(0,-2)$ 这种轴上的点，用斜率或向量均可，注意分母不为零的隐含条件（本题中 $x\ne 0$ 显然成立）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程