2022-新高考II卷-10 多-抛物线焦点弦

本题导读

本题考查抛物线的定义与焦半径公式，以及抛物线焦点弦的性质。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 已知 $O$ 为坐标原点，过抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，其中 $A$ 在第一象限，点 $M(p,0)$. 若 $|AF|=|AM|$，则()

A. 直线 $AB$ 的斜率为 $2\sqrt{6}$　　　　　　　　　　B. $|OB|=|OF|$

C. $|AB|>4|OF|$　　　　　　　　　　　　　　D. $\angle OAM+\angle OBM<180^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 突破口：求点 $A$ 坐标。已知 $F(\frac{p}{2},0),M(p,0)$。利用焦半径公式 $|AF|=x_A+\frac{p}{2}$ 与两点距离公式表示的 $|AM|$ 建立方程，解出 $x_A$，代入抛物线求出 $y_A$。或者利用几何意义：$|AF|=|AM|$ 说明点 $A$ 在线段 $FM$ 的垂直平分线上，可快速求解 $x_A$。
2. 判定 A 项（斜率）：利用 $A,F$ 两点坐标直接求直线斜率。
3. 判定 B 项（定长比对）：利用焦点弦的横坐标乘积公式 $x_A{x}_B=\frac{p^2}{4}$ 快速求出 $x_B$，进而得到 $B$ 点坐标，计算 $|OB|$ 并与 $|OF|=\frac{p}{2}$ 比较。
4. 判定 C 项（弦长）：利用弦长公式 $|AB|=x_A+x_B+p$ 求解并与 $4|OF|=2p$ 比较。更高级的视角是：过焦点的弦长最短为通径 $2p$。
5. 判定 D 项（角度）：利用向量数量积 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ 和 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ 的符号判定 $\angle AOB$ 和 $\angle AMB$ 是否为钝角，再结合四边形内角和为 $360^{\circ }$ 判定对角和。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【解法一】 1. 确定点 $A$ 的坐标：

抛物线焦点 $F(\frac{p}{2},0)$，准线 $x=-\frac{p}{2}$．设 $A(x_A,y_A)$．

由抛物线定义得焦半径 $|AF|=x_A+\frac{p}{2}$．

由已知 $M(p,0)$，根据两点间距离公式：

$|AM|=\sqrt{(x_A-p{)}^2+y_A^2}=\sqrt{x_A^2-2p{x}_A+p^2+2p{x}_A}=\sqrt{x_A^2+p^2}$．

因为 $|AF|=|AM|$，所以 $x_A+\frac{p}{2}=\sqrt{x_A^2+p^2}$．

两边平方得：$x_A^2+p{x}_A+\frac{p^2}{4}=x_A^2+p^2\Rightarrow p{x}_A=\frac{3p^2}{4}\Rightarrow x_A=\frac{3p}{4}$．

代入抛物线方程：$y_A^2=2p\cdot \frac{3p}{4}=\frac{3p^2}{2}\Rightarrow y_A=\frac{\sqrt{6}p}{2}$（取第一象限）．

故 $A(\frac{3p}{4},\frac{\sqrt{6}p}{2})$．

2. 判定 A 选项（斜率）：

直线 $AB$ 过焦点 $F(\frac{p}{2},0)$ 和 $A(\frac{3p}{4},\frac{\sqrt{6}p}{2})$．

$k_{AB}=\frac{\frac{\sqrt{6}p}{2}-0}{\frac{3p}{4}-\frac{p}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{6}p}{2}}{\frac{p}{4}}=2\sqrt{6}$．

故 A 选项正确．

3. 判定 B 选项（距离比较）：

利用焦点弦性质：$x_A{x}_B=\frac{p^2}{4}$．

则 $x_B=\frac{p^2/4}{3p/4}=\frac{p}{3}$．

代入求 $y_B$：$y_B^2=2p\cdot \frac{p}{3}=\frac{2p^2}{3}\Rightarrow y_B=-\frac{\sqrt{6}p}{3}$．

$|OB|=\sqrt{(\frac{p}{3}{)}^2+\frac{2p^2}{3}}=\sqrt{\frac{p^2}{9}+\frac{6p^2}{9}}=\frac{\sqrt{7}p}{3}$．

$|OF|=\frac{p}{2}$．因为 $\frac{\sqrt{7}}{3}\ne \frac{1}{2}$，故 B 选项错误．

4. 判定 C 选项（弦长比较）：

$|AB|=x_A+x_B+p=\frac{3p}{4}+\frac{p}{3}+p=\frac{9+4+12}{12}p=\frac{25p}{12}$．

$4|OF|=4\cdot \frac{p}{2}=2p$．

因为 $\frac{25}{12}>2$，所以 $|AB|>4|OF|$，故 C 选项正确．

5. 判定 D 选项（角度关系）：

在 $△OAB$ 中，$O{A}^2+O{B}^2=(\frac{9}{16}+\frac{24}{16})p^2+\frac{7}{9}{p}^2=\frac{33}{16}{p}^2+\frac{7}{9}{p}^2=\frac{297+112}{144}{p}^2=\frac{409}{144}{p}^2<A{B}^2=\frac{625}{144}{p}^2$．

故 $\angle AOB$ 为钝角．

同理，在 $△MAB$ 中，$MA=\frac{5p}{4}$，$M{B}^2=(p-\frac{p}{3}{)}^2+\frac{2p^2}{3}=\frac{4p^2}{9}+\frac{6p^2}{9}=\frac{10p^2}{9}$．

$M{A}^2+M{B}^2=\frac{25}{16}{p}^2+\frac{10}{9}{p}^2=\frac{225+160}{144}{p}^2=\frac{385}{144}{p}^2<A{B}^2=\frac{625}{144}{p}^2$．

故 $\angle AMB$ 也为钝角．

在四边形 $OAMB$ 中，内角和为 $360^{\circ }$．

$\angle OAM+\angle OBM=360^{\circ }-(\angle AOB+\angle AMB)$．

因为后两角均大于 $90^{\circ }$，所以其和大于 $180^{\circ }$．

故 $\angle OAM+\angle OBM<180^{\circ }$，故 D 选项正确．

【解法二】 对于A，易得$F(\frac{p}{2},0)$，由$|AF|=|AM|$可得点$A$在[FM]的垂直平分线上，则$A$点横坐标为$x_A=\frac{\frac{p}{2}+p}{2}=\frac{3p}{4}$，代入抛物线可得$y^2=2p\cdot \frac{3}{4}p=\frac{3}{2}{p}^2$，$\therefore A(\frac{3p}{4}$，$\frac{\sqrt{6}p}{2})$，则直线$AB$的斜率为$k_{AB}=k_{AF}=\frac{\frac{\sqrt{6}p}{2}-0}{\frac{3p}{4}-\frac{p}{2}}=2\sqrt{6}$，A正确； 对于B，由斜率为$2\sqrt{6}$可得直线$AB$的方程为$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}$，$\left|AF\right|=x_A+\frac{p}{2}=\frac{5}{4}p$， $\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{1}{\frac{5p}{4}}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}$，$\therefore \left|BF\right|=x_B+\frac{p}{2}=\frac{5p}{6}$，$x_B=\frac{p}{3}$ 代入抛物线得$B(\frac{p}{3},-\frac{\sqrt{6}}{3}p)$， 则$\therefore \left|OB\right|=\sqrt{{\left(\frac{p}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{6}p}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{7}p}{3}\ne \left|OF\right|=\frac{p}{2}$，B错误； 对于C，由抛物线定义知：$\therefore \left|AB\right|=\frac{3p}{4}+\frac{p}{3}+p=\frac{25p}{12}>2p=4\left|OF\right|$，C正确； 对于D，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\left(\frac{3p}{4},\frac{\sqrt{6}p}{2}\right)\cdot \left(\frac{p}{3},\frac{-\sqrt{6}p}{2}\right)=\frac{3p}{4}\cdot \frac{p}{3}+\frac{\sqrt{6}p}{2}\cdot \frac{-\sqrt{6}p}{2}=-\frac{3p^2}{4}<0$， 则$\angle AOB$为钝角， 又$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\left(-\frac{p}{4},\frac{\sqrt{6}p}{2}\right)\cdot \left(-\frac{2p}{3},\frac{-\sqrt{6}p}{2}\right)=-\frac{p}{4}\cdot \left(\frac{-2p}{3}\right)+\frac{\sqrt{6}p}{2}\cdot \left(\frac{-\sqrt{6}p}{2}\right)=-\frac{5p^2}{6}<0$， 则$\angle AMB$为钝角， 又$\angle AOB+\angle AMB+\angle OAM+\angle OBM=360{}^{\circ }，则\angle OAM+\angle OBM<180{}^{\circ }$，D正确. 故选：ACD.

【解法三】： 记$\angle AOx=\theta$，B选项可利用$\tan \theta =\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}p}{\frac{3}{4}p-\frac{p}{2}}=2\sqrt{6}$，$\cos \theta =\frac{1}{5}$，$BF=\frac{p}{1-\cos \theta }=\frac{5}{6}p=x_B+\frac{p}{2}$，$x_B=\frac{p}{3}$ 代入抛物线得$B(\frac{p}{3},-\frac{\sqrt{6}}{3}p)$，下同解法1; C可利用$\left|AB\right|>$通径=$2p=4|OF|$，C对.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 几何直观的简化处理：在解法中，利用 $|AF|=|AM|$ 直接看出点 $A$ 在垂直平分线上，比代数方程快得多。解析几何中时刻保持对几何图形基本性质的敏感度，能省下大量计算时间。
2. 焦点弦的两大神器：

• 坐标积：$x_A{x}_B=\frac{p^2}{4}$（在 $y^2=2px$ 中）。只要知道一端的横坐标，另一端瞬间快速求解。
• 弦长公式：$|AB|=x_A+x_B+p=\frac{2p}{{\sin }^2\alpha }$（$\alpha$ 为倾斜角）。

3. 向量积判角的绝对优势：在解析几何中，凡是遇到判断角度是锐角、直角还是钝角的问题，**向量的数量积（点乘）**永远是第一选择。大于 0 为锐角，等于 0 为直角，小于 0 为钝角（需排除共线情况）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：在 D 选项的推导中，我们发现 $\angle AOB$ 和 $\angle AMB$ 都是钝角。对于抛物线 $y^2=2px$ 上的任意焦点弦 $AB$（端点不为原点），$\angle AOB$ 必定是钝角吗？ (提示：是的。设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。利用焦点弦性质 $x_1{x}_2=\frac{p^2}{4}$，$y_1{y}_2=-p^2$，可得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-\frac{3p^2}{4}<0$ 恒成立。这是一个极其有用的二级结论。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义
• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性
• 2010-山东卷文-09 单-抛物线焦点弦